§5.3拉格朗日方程 一、基本形式的拉格朗日方程 根据牛顿定律，由个质点组成的力学系统的动 力方程为： m方=F+R (i=1,2.,n) (1) (1)式也可写为 F+-m,=0 (i=1,2,.,n) (2) 从数学上讲，(2)式只不过是(1)式进行了移 项而已。但从物理上讲却很有意义，把动力学问题变 成了静力学问题，通常把平衡关系式(2)称为达朗 伯原理。 (2)式，点乘8产，并对求和得
§5.3 拉格朗日方程 一、基本形式的拉格朗日方程 根据牛顿定律，由n个质点组成的力学系统的动 力方程为： iRFrm n )1()2,1( += iiii .= ， K K K irmRF n )2(),2,1(0 iiii .==−+ ， K K K （2）式点乘 并对 ri i求和得 K δ （1）式也可写为 从数学上讲，（2）式只不过是（1）式进行了移 项而已。但从物理上讲却很有意义，把动力学问题变 成了静力学问题，通常把平衡关系式（2）称为达朗 伯原理
(E,-m,)6+2E·6亦，=0 (3) = 在理想约束下有： ∑(E,-m,)6=0 (4) i= 称(4)式为达朗伯—拉格朗日方程，也常称达 朗伯原理。 下面我们在广义坐标下表示(4)式 =(91,q2,.9,t) 或=(ga,t) (a=1,2.,S)
( ) )3(0 1 1 ∑ ∑ =⋅+⋅− = = i n i iii i n i i rRrrmF K K K K K δ δ 在理想约束下有： )4(0)( 1 ∑ =⋅− = iii n i i rrmF 称（4）式为达朗伯——拉格朗日方程，也常称达 朗伯原理。 K K K δ 下面我们在广义坐标下表示（4）式 或 ),( 21 tqqqrr = ii . s K K tqrr s)2,1(),( = ii α α .= ， K K
元=(ga,t) (a=1,2.,S) O dqr*042 dr;=0 ordq+.*0q: 0生t ordas*ot =。+ (5) 在上式中把实位移改成虚位移（从物理上讲的)， 从数学上讲就是把微分改成变分。并注意到0=9 有 5i-20 (6)
dt t r dq q r dq q r dq q r rd i s s i i i i ∂ ∂ + ∂ ∂ +.+ ∂ ∂ + ∂ ∂ = K K K K K 2 2 1 1 )5( 1 dt t r dq q r i s i ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∑= K K α α α tqrr s)2,1(),( = ii α α .= ， K K 在上式中把实位移改成虚位移（从物理上讲的）， 从数学上讲就是把微分改成变分。并注意到 有 )6( 1 2 α α δ δq q r r s i i ∑= ∂ ∂ = K K 0 = t δ
将(6)式代入(4)式得 习版2额. a=1i1 m (8) i-1 ,d∂ 6-之m:tq (9) Or dqaOt k ar,=Vogd or,dt dt 台aqa (10)
将（ 6）式代入（ 4）式得 [ ] )7(0 11 1 = ∂ ∂ ⋅+ ∂ ∂ ⋅− ∑∑∑ == = α α α α δq q r F q r rm i n i i i n i i s K K K K )8( 1 α α Q q r F i n i i = ∂ ∂ ∑ ⋅ = K K )9( 1 α 1 α 1 q α r dt d rm q r rm dt d q r rm i n i ii i i n i i i i n i i ∂ ∂ ⋅− ∂ ∂ = ⋅ ∂ ∂ ∑ ⋅ ∑∑ = = = K K K K K K dt t r dq q r rd i s i i ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∑= K K K ∵ α α 1 α )10( 1 t r q q r dt rd r i s i i i ∂ ∂ + ∂ ∂ ∴ == ∑= K K K K α α α
-名+ (10) dt 由于=(9a,t), 故产=i(qa,9a,t) 对(（10)求4a的偏导数，有 0航- Or; aqa (11) O 对t的微商有 夫 qa 4航-2+on。 += dt dqa台8qp0Qa9 qa 元4B+at】
tqrr ),(ii α K K = )11( α α q r q ri i ∂ ∂ = ∂ ∂ K K 由于 qα 对（10）求 的偏导数，有 tqqrr ),( i αα K K 故 = )10( 1 t r q q r dt rd r i s i i i ∂ ∂ + ∂ ∂ == ∑= K K K K α α α 求 对 t的微商有 α q ri ∂ ∂ K K K K K K K ir s i i i s i i t r q q r qqt r q qq r q r dt d ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ ∑ ∑ = = 1 2 1 2 β β α α β β α β αβ