第五章分析力学 ©分析力学与矢量力学（牛顿力学） ©分析力学的创立 。分析力学的研究对象及研究方法
第五章 分析力学 分析力学与矢量力学（牛顿力学） 分析力学的创立 分析力学的研究对象及研究方法
§5.1约束与广义坐标 一、约束的概念和分类 1.约束 对n个质点构成的力学系统，在不受约束时，确定其 位形需要3个独立坐标。当系统的运动受到约束时，确 定其位形的独立坐标数目应小于3n。 约束：事先给定的限制系统内各质点自由运动的条件。 这个条件（即约束）用数学式子表示为： fa(,t)=0 (i=1,2,.;a=1,2,.k) ——约束方程
§5.1 约束与广义坐标 一、约束的概念和分类 对n个质点构成的力学系统,在不受约束时,确定其 位形需要3n个独立坐标。当系统的运动受到约束时，确 定其位形的独立坐标数目应小于3n。 约束 :事先给定的限制系统内各质点自由运动的条件。 trf = 0),( ia K ——约束方程 = .ni α = . k),2,1;,2,1( 这个条件（即约束）用数学式子表示为 : 1. 约束
2.约束的分类 根据约束方程中是否显含时间t,我们把约束方程分 为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束：f()=f(x,y,z;)=0 不稳定约束：)=x)=0 稳如：x2+y2+z2=12 不稳如：(x-ct)2+y2+z2=2 根据约束是否可以被解脱可分为： 不可解约束（双面约束）：f()=0 1可解约束（单面约束)：f()≤0或f(⑦)≥0
2.约束的分类 根据约束方程中是否显含时间t,我们把约束方程分 为稳定约束和不稳定约束. 稳定约束： 不稳定约束： 0 根据约束是否可以被解脱可分为： 不可解约束(双面约束）： 可解约束（单面约束）： 稳如： 2222 =++ lzyx ia = iiia ,t),z,y(xf,t)r(f = K = = 0),()( iiiaia zyxfrf K 不稳如： 2222 )( =++− lzyctx = 0)( ia rf K ≤ 0)( ia rf K ≥ 0)( ia rf K 或
约束还可以分为几何约束和运动约束： 几何约束（也叫完整约束)f()=0或f(,t)=0 运动约束（也叫微分约束或不完整约束或非完整约束） fm(,i)=0 或fn(i,i,t)=0 注意：能被积分的微分约束是几何约束，而不是微分 约束. 力学系统的分类 完整系统：只受完整约束的系统 非完整系统：同时受完整约束和不完整约束的系统 本课程中只研究完整力学系统
约束还可以分为几何约束和运动约束： 几何约束（也叫完整约束） 运动约束（也叫微分约束或不完整约束或非完整约束) = trfrf = 0),(0)( ia ia K K 或 rrf = 0,( trrf = 0),( iia iia K K K K ） 或 注意：能被积分的微分约束是几何约束，而不是微分 约束. 力学系统的分类 完整系统：只受完整约束的系统. 非完整系统：同时受完整约束和不完整约束的系统. 本课程中只研究完整力学系统
二、广义坐标 若n个质点组成的力学系统受到k个完整约束，则系 统的独立数为3n-k=s个。因此用s个独立坐标就可描述 系统的位形。 对完整系统：定义描述系统位形的独立坐标数s=3-k 为系统的自由度. 由于3n个坐标中独立的只有s个，因此可选取适当 的S个独立参量41,92，9及t把那3个不独立的坐标 表示出来。 即：i=(q1,q2,.4,t) (i=1,2.;s<3n) 这s个参量91,92.9，称为系统的广义坐标
二、广义坐标 若n个质点组成的力学系统受到k个完整约束，则系 统的独立数为3n-k=s个。因此用s个独立坐标就可描述 系统的位形。 对完整系统:定义描述系统位形的独立坐标数s=3n-k 为系统的自由度. qqq s , 2,1 " 由于3n个坐标中独立的只有s个，因此可选取适当 的S个独立参量 及t把那3n个不独立的坐标 表示出来。 即： )3;2,1(),( 21 nsnitqqqrr = ii . s = . < KK 这s个参量 称为系统的广义坐标. 21 .qqq s