第五章 分析力学
第五章 分析力学
§5.3拉格朗日方程 导读 •达朗贝尔原理 ·基本拉格朗日方程 ·广义速度广义动量 ·保守系的拉格朗日方程 ·循环积分
• 达朗贝尔原理 • 基本拉格朗日方程 • 保守系的拉格朗日方程 导读 §5.3 拉格朗日方程 • 循环积分 • 广义速度 广义动量
1达朗贝尔原理 按照牛顿运动定律，力学系统的第质点的运动方程是 F,+R-m,元=0 只要把最后一项理解为一种力，上式就变为平衡方程的 类型.事实上，研究第质点的运动时，若选用跟随这质点 一同平动的参考系统，这质点显然是（相对）静止的，它应 当遵守平衡方程.最后一项就是惯性力.这就叫作达朗贝 尔原理 ∑（厅-m)苏=0 (5.23) 达朗贝尔拉格朗日方程
按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是 + − = 0 i i i i F R m r 只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的 类型. 事实上, 研究第i质点的运动时, 若选用跟随这质点 一同平动的参考系统, 这质点显然是(相对)静止的, 它应 当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫作达朗贝 尔原理. ( ) 0 (5.23) 1 − = = n i i i i i F m r r ——达朗贝尔-拉格朗日方程 1 达朗贝尔原理
达朗贝尔原理是以牛顿定律加上理想约束假定 作为逻辑推理的出发点导出的.从这个基本法出发 再利用约束对虚位移的限制关系式，可以导出力学 系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规 律.由于约束的性质是纯几何的或运动学的，因此可 认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基 本方程，故称之为“原理”.这比承认牛顿定律再加 上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性， 当存在非理想约束时，达朗贝尔原理也适用，它可叙 述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和 为零.对于完整约束或非完整约束，这个原理都适用， 因此它可以称为分析动力学的普遍原理
达朗贝尔原理是以牛顿定律加上理想约束假定 作为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发 再利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力学 系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规 律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可 认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基 本方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿定律再加 上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当存在非理想约束时, 达朗贝尔原理也适用,它可叙 述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和 为零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理
2动力学普遍方程 ∑(f-m,a)6n=0 (i=1,2,m F=匠，FwF小=（民5=6分%6） 方程的直角坐标形式 ∑(-m)6x+(-m,)6+(f。-m)6=0 i=1,2,m 适用于具有理想约束或双面约束的系统： 适用于具有稳定（或非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统
i n F m x x F m y y F m z z i i y i i i i z i i i i i x i i = , , , − + − + − = 1 2 ( ) δ ( ) δ ( ) δ 0 方程的直角坐标形式 ( m ) δ 0 (i 1 2 n) i i i i i F − a r = = , , , 适用于具有稳定（或非稳定）约束的系统； 适用于具有完整（或非完整）约束的系统； 适用于具有保守力（或非保守力）的系统。 适用于具有理想约束或双面约束的系统； 2 动力学普遍方程 ( ) ( ) ( ) i i x i y i z i i i i i i i i F = F , F , F , a = x , y , z ,δ r = δ x ,δ y ,δ z