质点及质点组力学 复习和习题课
质点及质点组力学 复习和习题课
前两章概念回顾 ·质点运动描述：位移，速度，加速度，轨道 ·牛顿三定律，质点（系）动量定理及守恒律 ·质点（系）角动量定理及守恒律 ·质点（系）动能定理及机械能守恒律 ·保守力与势能曲线 ·两体问题，质心系和实验室系
前两章概念回顾 • 质点运动描述: 位移, 速度, 加速度, 轨道 • 牛顿三定律, 质点(系)动量定理及守恒律 • 质点(系)角动量定理及守恒律 • 质点(系)动能定理及机械能守恒律 • 保守力与势能曲线 • 两体问题, 质心系和实验室系
例1（质点运动学）由光滑钢丝弯成竖直平面里的一条曲线，质点 穿在此钢丝上，可沿着它滑动（图）.已知其切向加速度为-g$in8,日 是曲线切向与水平方向的夹角.试求质点在各处的速度： 解：取直角坐标系如图.令ds为 质点移动的弧长，在y方向上投影 为dy=ds sin6.这里只用到切向加 速度 =-8sn0 dt 由此 积分 「dv=-8dy,→v2-=2g0,-y
例1 (质点运动学) 由光滑钢丝弯成竖直平面里的一条曲线, 质点 穿在此钢丝上,可沿着它滑动(图). 已知其切向加速度为－gsin, 是曲线切向与水平方向的夹角. 试求质点在各处的速度. 解: 取直角坐标系如图. 令ds 为 质点移动的弧长, 在y方向上投影 为dy =ds sin. 这里只用到切向加 速度 sin d d g t v at = = − 由此 O g dy ds x y g y v t s t g y s y v g t g d / d d d d d d d sin d 1 = − = − = − = − − 积分 d d , 2 ( ) 0 2 0 2 0 0 v v g y v v g y y y y v v = − − = −
例2（质点运动方程）小雨点与大雨点相比，在空中哪个降落的比 较快？空气阻力为f阻CS2.S为雨点表面积，为雨点速度，C是 常 解：当雨点在云层形成以后，即在重力作用下加速降落.随着雨点 速度的加大，空气阻力由0加大到与雨点的重力g抗衡： CSv2 mg 此后它将不再受力，以一定的速度作匀速直线运动.雨点最后的 速度叫终极速度.令 S=m2,m=4πpwae 3 终极速度为 Vterminal 4 rgpwater 1 3C 故大雨点比小雨点下落的快！
例2 (质点运动方程) 小雨点与大雨点相比, 在空中哪个降落的比 较快? 空气阻力为f阻=CSv2 . S为雨点表面积, v为雨点速度, C是 常数. 解: 当雨点在云层形成以后, 即在重力作用下加速降落. 随着雨点 速度的加大, 空气阻力由 0 加大到与雨点的重力mg抗衡: CSv = mg 2 此后它将不再受力, 以一定的速度作匀速直线运动. 雨点最后的 速度叫终极速度. 令 , 4 / 3 2 3 water S = r m = r 终极速度为 r C rg v water = 3 4 terminal 故大雨点比小雨点下落的快!
例3（非惯性系：科里奥利力）如图在盘D上沿径向开一个细槽， 槽内放个小球.球被细线牵着，细线跨过位于盘心的一个滑轮，与 固联在底座D,中心的一个弹簧相连.当小球在盘心时，弹簧处于自 然长度，.整个装置固定在底座D2上，D,可绕中心竖直轴自由旋转 设所有接触处都是光滑的.(1)当底座带着整套装置以匀角速ω旋 转时，弹簧的弹性系数k为多少可以使小球处于平衡？(2)如果此 时给小球一个径向初速度y,它将作怎样的运动？(3)在小球运动 中，槽帮给小球的力f为多少？ 解：(1)当整个装置旋转时，在随动的旋转参 考系看来，小球受到一个惯性离心力ro2(m 为小球质量)，这里小球到圆心的距离也就是 弹簧的伸长量△.所以两力平衡条件是 mro2=k△l=kr三k=mo2 (2)以上平衡条件与r无关，这意味着小球在 距圆心任何径向位置都不受力.故当它有径 向速度时，将相对于圆盘作匀速直线运动
例3 (非惯性系: 科里奥利力) 如图在盘D1上沿径向开一个细槽, 槽内放个小球. 球被细线牵着, 细线跨过位于盘心的一个滑轮,与 固联在底座D2中心的一个弹簧相连.当小球在盘心时, 弹簧处于自 然长度l0 . 整个装置固定在底座D2上, D2可绕中心竖直轴自由旋转. 设所有接触处都是光滑的. (1)当底座带着整套装置以匀角速 旋 转时, 弹簧的弹性系数 k 为多少可以使小球处于平衡? (2)如果此 时给小球一个径向初速度 v, 它将作怎样的运动? (3)在小球运动 中, 槽帮给小球的力 f 为多少? 解: (1)当整个装置旋转时, 在随动的旋转参 考系看来, 小球受到一个惯性离心力mr2 (m 为小球质量), 这里小球到圆心的距离r也就是 弹簧的伸长量l. 所以两力平衡条件是 2 2 mr = kl = k r k = m (2) 以上平衡条件与r 无关, 这意味着小球在 距圆心任何径向位置都不受力. 故当它有径 向速度v时, 将相对于圆盘作匀速直线运动. k l 0 l r v v