同济大学：《理论力学》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 分析力学 5.5 哈密顿正则方程

第五章 分析力学

第五章 分析力学

§5.5哈密顿正则方程 导读 ·勒让德变换 ·正则变量相空间相点 ·哈密顿正则方程 。守恒定理

导读 • 勒让德变换 • 正则变量 相空间 相点 • 哈密顿正则方程 • 守恒定理 §5.5 哈密顿正则方程

1勒让德（勒襄特）变换 在方程中，把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换，叫勒让德变换。 定义L=1(,痕=九(&，8，i,t 则由拉氏证9x O9a 如果把广义动量和广义坐标作为独立变量，则 9a=9a（P1,p2,.,p,91,92,.,9,t) 从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数 Z=(p1,P2,P,91,92,.,9,）

1 勒让德（勒襄特）变换 在方程中, 把一组独立自变量变为另一组独立自变 量的变换, 叫勒让德变换. 定义广义动量    q T q L p     =   = 则由拉氏方程, 得   q L p    = 如果把广义动量和广义坐标作为独立变量, 则 ( , , , , , , , , ) 1 2 1 2 q q p p p q q q t  s  s    =  从而拉氏量L也可以表示为广义动量和广义坐标的函数 ( , , , , , , , , ) 1 2 1 2 L L p p p q q q t =  s  s

两变量勒让德变换 x=x(u,y),v=v(u,y) ∫=f(x,y) x,y,U,V f(u,y)=f(x(u,y),y) df udx vdy af 可_af+fx ay ax ay =v+u 8x W= ay 8x of of ax Ox Oux 三u Ou Ox Ou ou Ou 勒让德变换： （-f+)=- g 新函数=不要的变量*原函数 y 对该变量的偏导原来函数 (-f+1)= X三 ou Bu

两变量勒让德变换 y f v x f u   =   = , x,y,u,v ( , ) ( ( , ), ) ( , ), ( , ) f u y f x u y y x x u y v v u y = = = df udx vdy f f x y = + = ( , ) x u ux u x u u x x f u f y x v u y x x f y f y f −   =   =     =     = +     +   =   u g f ux u x y g f ux y v   − + =   =   − + = −   = − ( ) 勒让德变换 ( ) : 新函数=不要的变量*原函数 对该变量的偏导-原来函数

2正则方程 当认为L是广义坐标，广义速度和时间的函数时 aL aL 考虑广义动量的定义，得 -2以+g.)广 对于哈密顿量 H(p,90=-L+∑P9。 可得 aH=-d++9-+p.)

当认为L是广义坐标, 广义速度和时间的函数时 t t L q q L q q L L s d d d d 1   +          +   =   =       考虑广义动量的定义, 得 2 正则方程 ( ) t t L L p q p q s d d d d 1   =  + +  =       对于哈密顿量 = = − + s H p q t L p q 1 ( , , )     可得 ( ) ( ) t t L H L p q q p p q q p s s d d d d d d d 1 1   = − +  + =  − + − =  =             