2003年全国硕士研究生入学统一考试理工数学二试题详解及评析填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（1）若x→0时，（1-ax2)4-1与xsinx是等价无穷小，则a=【答】 -4ax?【详解】当x→0时，(1-ax2)4xsinx~x?41Iax(-ax2)s4lim于是，根据题设有= lima=1,4xsinxx-→0x-0故a=-4.(2）设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是【答】x-y=0【详解】等式xy+2lnx=y两边直接对x求导，得+y+2-4y,x将x=1,y=1代入上式，有y(1)=1.故过点(1.1)处的切线方程为y-1=1-(x-1),即x-y= 0.（3）V=2*的麦克劳林公式中x"项的系数是(ln 2)"【答】n!【详解】因为y"=2"In2，y"=2(ln2)，.,y()=2*(ln2)",于是有v(m)(0)= (ln2)",故麦克劳林公式中x"项的系数是y(n)(O)(ln2)"n!n!
2003 年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析 一、 填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1） 若 x → 0时，(1 ) 1 4 1 2 − ax − 与 x sin x是等价无穷小，则 a= . 【答】 -4 【详解】 当 x → 0时， 4 2 1 2 4 1 (1− ax ) −1 ~ − ax ， 2 x sin x ~ x . 于是，根据题设有 1 4 4 1 1 lim sin (1 ) lim 2 2 0 4 1 2 0 = − = − = − → → a x ax x x ax x x ， 故 a=-4. （2） 设函数 y=f(x)由方程 4 xy + 2ln x = y 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1)处的 切线方程是 . 【答】 x-y=0 【详解】 等式 4 xy + 2ln x = y 两边直接对 x 求导，得 y y x y + xy′ + = ′ 3 4 2 ， 将 x=1,y=1 代入上式，有 . y′(1) = 1 故过点(1,1)处的切线方程为 y −1 = 1⋅(x −1)，即 x − y = 0. （3） x y = 2 的麦克劳林公式中 n x 项的系数是_. 【答】 ! (ln 2) n n 【详解】 因为 2 2 ln x y′ = ， 2 2 (ln 2) x y′′ = ， x x n , y 2 (ln 2) ( ) " = ， 于是有 n n y (0) (ln 2) ( ) = ， 故麦克劳林公式中 n x 项的系数是 . ! (ln 2) ! (0) ( ) n n y n n =
（4）设曲线的极坐标方程为p=e"（α>0），则该曲线上相应于θ从0变到2元的一段弧与极轴所围成的图形的面积为1(e4m -1)【答】4a【详解】所求面积为e2adop(0)de :S=2J02.Jo1(e4m-1)4a4a[11-1(5)设α为3维列向量，α是α的转置.若αα1则: 1-11α"α=【答】3【详解】方法一：aaT=由1]1.11知Y=上于是α"α=[1=31方法二：[x]设α=X2[][xX2Xx[x则aat]=专M-1X3[]x?X3XXg12由题设x=x=x=1,所以αα=x+x+x=3（6）设三阶方阵A,B满足A?B-A-B=E，其中E为三阶单位矩阵，若
（4） 设曲线的极坐标方程为 = e (a > 0) aθ ρ ，则该曲线上相应于θ 从 0 变到 2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 _. 【答】 ( 1) 4 1 4 −a e a π 【详解】 所求面积为 ρ θ θ θ π θ π S d e d a ∫ ∫ = = 2 0 2 2 0 2 2 1 ( ) 2 1 = = π θ 2 0 2 4 1 a e a ( 1) 4 1 4 −a e a π . （5） 设α 为 3 维列向量， T α 是α 的转置. 若 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T αα ，则 α αT = . 【答】 3 【详解】 方法一： 由 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 T αα = [ ] 1 1 1 1 1 1 − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ， 知 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − 1 1 1 α ， 于是 [ ] 3. 1 1 1 1 1 1 = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ α α = − − T 方法二： 设 1 2 3 , x x x α ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 则 [ ] 2 1 1 12 13 2 2 1 2 3 21 2 3 2 3 31 32 3 T x x xx xx x x x x xx x x x xx xx x αα ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ， 由题设 232 1 23 xxx ===1, 所以 222 1 23 3. T α α = xxx ++= （6） 设三阶方阵 A,B 满足 A B − A − B = E 2 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若
0117020A=则|B|=10-21-【答】2【详解】由AB-A-B=E知,(A?-E)B=A+E，即(A+E)(A-E)B=A+E,易知矩阵A+E可逆，于是有(A-E)B=E再两边取行列式，得[4- E|B|=1,10011因为00=2,[A- E|=-2 0OB=！所以2二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1）设(a,),(b,),tc,均为非负数列，且lima,=0,limb,=1,limc,=co,则必有(A）a,<b,对任意n成立(B)b,<c对任意n成立极限lima,c,不存在(D）极限limb,c,不存在(C)[]【答】应选(D)21【详解】用举反例法，取a，=n（n=1,2,.），则可立即排，b.=l,c.n除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D)应x/1+"，则极限limna,等于(2)设a,2 Joen(A)(1+e)(B)(1+e+1(1+e-l(D)(1+e)2(C)[]【答】应选(B)
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 2 0 1 0 2 0 1 0 1 A ，则 B = _ . 【答】 2 1 【详解】 由 A B − A − B = E 2 知， (A − E)B = A + E 2 ，即 (A + E)(A − E)B = A + E ， 易知矩阵 A+E 可逆，于是有 . (A − E)B = E 再两边取行列式，得 A − E B = 1， 因为 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 = − A − E = , 所以 B = 2 1 . 二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设{ },{ },{ } n n n a b c 均为非负数列，且lim = 0 →∞ n n a , 1 lim = →∞ n n b , = ∞ →∞ n n lim , c 则必 有 (A) an < bn 对任意 n 成立. (B) n n b < c 对任意 n 成立. (C) 极限 n n n a c →∞ lim 不存在. (D) 极限 n n n b c →∞ lim 不存在. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 用举反例法，取 n an 2 = ，bn = 1， ( 1,2, ) 2 1 cn = n n = " ，则可立即排 除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D). （2）设a x x dx n n n n n = + ∫ + − 1 2 3 1 0 1 , 则极限 n n na →∞ lim 等于 (A) (1 ) 1 2 3 + e + . (B) (1 ) 1 2 3 1 + − − e . (C) (1 ) 1 2 3 1 + + − e . (D) (1 ) 1 2 3 + e − . 【 】 【答】 应选（B）
【详解】因为3/1+xdx=/+xd+x)a,=2.J02nJ[=(1+()-1),(1+x")n+1nnlimna,=lim(1+(")--1)=(+e-")-1.可见n+1二是微分方程'=+()的解，则o()的表达式为（3）已知y=InxxyyI(A)(B)2(D)(C)L【】【答】应选（A）【详解】方法一：×代入微分方程y=+()，得将y=InxxyInx-111+β(lnx)，即g(lnx) =In?xInxIn2x1y20(2)=-故令Inx=u，有p(u)=u3,y应选(A).方法二：du令兰=u,=y'=u+xu'=u+u+xdxxdudx即有(1)xDudu从而Inx,114
【详解】 因为 a x x dx n n n n n = + ∫ + − 1 2 3 1 0 1 = 1 (1 ) 2 3 1 0 n n n n x d x n + + ∫ + = ) ] 1} 1 {[1 ( 1 (1 ) 1 2 3 1 0 2 3 − + + = + + n n n n n n n x n ， 可见 n n na →∞ lim = ) ] 1} (1 ) 1. 1 lim{[1 ( 2 3 2 1 3 − = + − + + − →∞ e n n n n （3）已知 x x y ln = 是微分方程 ( ) y x x y y′ = +ϕ 的解，则 ( ) y x ϕ 的表达式为 （A） . 2 2 x y − (B) . 2 2 x y (C) . 2 2 y x − (D) . 2 2 y x 【 】 【答】 应选（A） 【详解】方法一： 将 x x y ln = 代入微分方程 ( ) y x x y y′ = +ϕ ，得 (ln ) ln 1 ln ln 1 2 x x x x = +ϕ − ，即 x x 2 ln 1 ϕ(ln ) = − . 令 lnx=u，有 2 1 ( ) u ϕ u = − ，故 ( ) y x ϕ = . 2 2 x y − 应选(A). 方法二： 令 1 , '' y du u u x y u xu u x dx u ϕ ⎛ ⎞ = + = ⇒+ =+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠， 即有 1 . 1 du dx x u ϕ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 从而 ln , 1 du x u ϕ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫
dix为解，得+而117Inx2=-,从而p两边求导，得u(4）设函数f(x)在(-o0,+o)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点(C）两个极小值点和两个极大值点(D)三个极小值点和一个极大值点【】【答】应选(C)O【详解】方法一：根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)方法二：设f(x)=0的的根从左至右为x,xz,x，导数不存在的点为0，以上述点将(-o0,+)分为若干个区间列表如下：(00,x)(x,x)(x,0)(0.x(x, +o0)XUf'(x)
而 ln x y x = 为解，得 1 , 1 du x y u u ϕ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 两边求导，得 2 2 2 1 , . x y u u yx ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ =− =− ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 从而 （4）设函数 f(x)在(−∞,+∞) 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有 (A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点. 【 】 【答】 应选（C） y O x 【详解】 方法一： 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有 3 个，而 x=0 则是导数不 存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个 极小值点，一个极大值点；在 x=0 左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见 x=0 为极大值点，故 f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C). 方法二： 设 f x ' 0 ( ) = 的的根从左至右为 123 x , , x x ，导数不存在的点为 0，以上述点将 ( ) −∞ +∞ , 分为若干个区间列表如下： x ( ) 1 −∞, x 1 x ( ) 1 2 x , x 2 x ( x2 ,0) 0 (0, x3 ) 3 x ( ) 3 x ,+∞ f '( ) x + 0 － 0 + － 0 +