注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2、曲率的计算公式 设y=∫(x)二阶可导,tana 有 a arctan y, a 1+y ds=√1+y2dx k 1+y
2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, tan = y , , 1 2 dx y y d + = . (1 ) 2 3 2 y y ds d k + = = 有 = arctan y , 1 . 2 ds = + y dx
设1=0( 二阶可导, y=y(t), dy_y( dy o'(ty"(t)-(ty'(t dx (t) ∴k=p(owy()-g"(y(a p2(t)+y2()2
, ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − =
例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 解y=2ax+b,y"=2a, = 1+(2ax+b) b 显然,当x=-。时,k最大 2a b b4-4ac 又∷( )为抛物线的顶点, 2a 4a 抛物线在顶点处的曲率最大
例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大