延交集是非空集合。 相容关系分为以下三种： (1)全同关系一一同一关系或者重合关系 .B 全同关系是指两个概念的外延完全重合。 具有全同关系的概念，其外延虽然完全重合，但它们的内涵可以不同。 例如：①数0是自然数集中最小数：又是正与负数的分界数：又是运算中两 个相等数的差：等等。 ②在等腰△中：底边上的高线、中线及顶角的平分线的外延相同，但其内涵 (性质)不同。 ③1"-2°=sina2+cosa2=V5+√24V5-24=01= ④“同一关系”的例： 北京：中华人民共和国首都。 非零自然数：正整数。 等边△：正△。 等边矩形：等角菱形。 同一概念是从不同的方面反映同一事物的本质属性，因而同一概念的外延相 同，但内涵不完全相同。研究全同关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、 较全面的认识。 此外，在推理证明中，具有全同关系的概念（即同一概念）可以互相代换， 使得论证简明。 表示ADB:A较大一一属（上位）概念 R)A B较小一一种（下位）概念 (2)从属关系（属种关系） 设不是同一关系的两个概念甲、乙，其外延分别用A、B表示。如果甲概念 的外延A完全包含乙概念的外延B,或者说。如果B概念是A概念外延的一部 分而不是全部，种概念B的外延是属概念A的外延的真子集。 例如：有理数的外延（属概念）一整数的外延（种概念）。 有属种关系的两个概念的关系，在外延、内涵数量上，互相制约 个概念的内涵多一外延一小 广反比关系（反变关系）
6 延交集是非空集合。 相容关系分为以下三种： （1）全同关系——同一关系或者重合关系 全同关系是指两个概念的外延完全重合。 具有全同关系的概念，其外延虽然完全重合，但它们的内涵可以不同。 例如：①数 0 是自然数集中最小数；又是正与负数的分界数；又是运算中两 个相等数的差；等等。 ②在等腰△中：底边上的高线、中线及顶角的平分线的外延相同，但其内涵 （性质）不同。 ③ 1 n = 2 o = sin 2 + cos 2 = 5 + 24 5 − 24 = 0!= ④“同一关系”的例： 北京；中华人民共和国首都。 非零自然数；正整数。 等边△；正△。 等边矩形；等角菱形。 同一概念是从不同的方面反映同一事物的本质属性，因而同一概念的外延相 同，但内涵不完全相同。研究全同关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、 较全面的认识。 此外，在推理证明中，具有全同关系的概念（即同一概念）可以互相代换， 使得论证简明。 表示 AB ： A 较大——属（上位）概念 B 较小——种（下位）概念 （2）从属关系（属种关系） 设不是同一关系的两个概念甲、乙，其外延分别用 A、B 表示。如果甲概念 的外延 A 完全包含乙概念的外延 B，或者说。如果 B 概念是 A 概念外延的一部 分而不是全部，种概念 B 的外延是属概念 A 的外延的真子集。 例如：有理数的外延（属概念） 整数的外延（种概念）。 有属种关系的两个概念的关系，在外延、内涵数量上，互相制约。 一个概念的内涵多 → 外延—小 A·B A B 反比关系（反变关系）
反之内涵少→外延一大 Note:这里借用“反比”的意思只是表示概念的内涵与外延在数量方面相应 的变化方向相反，并不意味其间数量成反比例关系。 例如：四边形外延一了外延一☐外延一□外延 多出：两组对边平行：两组对边相等；对角线互相平分。 多出：四个角是直角：对角线相等。 多出：邻边相等：对角线相等且相互垂直平分。 口内涵一口内涵。口内涵四边形内涵 属概念和种概念是相对的。同一个概念，相对于某一概念是属概念，相对于 另一概念可以是种概念。 例如：“有理数”是“整数”的属概念，也是“实数”的种概念 “等腰△”是“△”的种概念，也是“等边△”的属概念。 “种差”的概念：种概念包含于属概念，种概念除具有属概念的内涵外，还 具有本身特有的内涵，这特有的内涵被称为种概念的种差(“种差”概念在概念 的定义中有重要作用)。 属种关系又称从属关系。在数学中，属种关系是概念间比较重要的一种关系。 这种关系，在研究概念的性质以及推理，证明中常用到 (3)交叉关系 如果两概念外延，有且只有部分重合，那么两个概念具有交叉关系。 例：方程组的解集：不等式组的解集：几何中轨迹交截法。 交叉概念A和B外延的交集既是A外延的真子集，也是B的真子集，这个 交集往往是另一个概念的外延。以交叉概念A和B外延的交集为外延的概念， 既具有A的内涵，又具有B的内涵。 A B 例：中学生；女学生一女中学生： 正数：整数→正整数： 矩形：菱形→正方形。 递增数列：有界数列一递增有界数列
7 反之 内涵少 → 外延—大 Note：这里借用“反比”的意思只是表示概念的内涵与外延在数量方面相应 的变化方向相反，并不意味其间数量成反比例关系。 例如：四边形外延 外延 外延 外延 多出：两组对边平行；两组对边相等；对角线互相平分。 多出：四个角是直角；对角线相等。 多出：邻边相等；对角线相等且相互垂直平分。 内涵 内涵 内涵 四边形内涵 属概念和种概念是相对的。同一个概念，相对于某一概念是属概念，相对于 另一概念可以是种概念。 例如：“有理数”是“整数”的属概念，也是“实数”的种概念； “等腰△”是“△”的种概念，也是“等边△”的属概念。 “种差”的概念：种概念包含于属概念，种概念除具有属概念的内涵外，还 具有本身特有的内涵，这特有的内涵被称为种概念的种差（“种差”概念在概念 的定义中有重要作用）。 属种关系又称从属关系。在数学中，属种关系是概念间比较重要的一种关系。 这种关系，在研究概念的性质以及推理，证明中常用到。 （3）交叉关系 如果两概念外延，有且只有部分重合，那么两个概念具有交叉关系。 例：方程组的解集；不等式组的解集；几何中轨迹交截法。 交叉概念 A 和 B 外延的交集既是 A 外延的真子集，也是 B 的真子集，这个 交集往往是另一个概念的外延。以交叉概念 A 和 B 外延的交集为外延的概念， 既具有 A 的内涵，又具有 B 的内涵。 A B AB 例：中学生；女学生 女中学生； 正数；整数 正整数； 矩形；菱形 正方形。 递增数列；有界数列 递增有界数列 A B
正方形既是一组邻边相等的矩形，又是一个角是直角的菱形。 2、不相容关系 如果两概念的外延没有重合部分，则称为不相容关系或全异关系或排斥关 系。它分为： (1)矛盾关系 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系 用集合符号表示之，设属概念的外延为集合C,它的两个种概念的外延分别 为集合A和B。 若AnB=中且AUB-C 则A与B具有矛盾关系 例：男青年；女青年一（青年） 有理数：无理数一{实数； 直角△：斜△→{△} 空集：非空集一{集合；： (2)反对关系（又称对立关系） 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立 关系。 若AnB=中且AUBCC, 则A与B具有反对关系 例：牛：马c动物， 质数：合数c自然数， 正弦函数：余切函数c三角函数 平行四边形：梯形c四边形 概念的全异关系（矛盾反对）是数学中反证法、穷举法的依据（逻辑基础》 之一，用处很多。 两个概念间的矛盾关系和反对关系与它们的属概念有关。对于不同的属概 念，两个种概念的关系可能不一样，对两个种概念的矛盾关系或反对关系，必要
8 正方形既是一组邻边相等的矩形，又是一个角是直角的菱形。 2、不相容关系 如果两概念的外延没有重合部分，则称为不相容关系或全异关系或排斥关 系。它分为： （1）矛盾关系 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。 用集合符号表示之，设属概念的外延为集合 C，它的两个种概念的外延分别 为集合 A 和 B。 若 AB=φ且 A∪B=C C 则 A 与 B 具有矛盾关系。 例：男青年；女青年→{青年} 有理数；无理数→{实数} 直角△；斜△ →{△} 空集； 非空集→{集合}. （2）反对关系（又称对立关系） 在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而 且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立 关系。 若 A∩B=φ且 AB C， C 则 A 与 B 具有反对关系。 例：牛；马 动物， 质数；合数 自然数， 正弦函数；余切函数 三角函数 平行四边形；梯形 四边形 概念的全异关系（矛盾/反对）是数学中反证法、穷举法的依据（逻辑基础） 之一，用处很多。 两个概念间的矛盾关系和反对关系与它们的属概念有关。对于不同的属概 念，两个种概念的关系可能不一样，对两个种概念的矛盾关系或反对关系，必要 A B A B
时应指出是对于那个属概念而言的。 除以上各种关系外，概念之间还有一种并列关系。 3、并列关系 同一属概念的几个种概念之间的关系叫做并列关系， 概念的并列关系，可以是相容的，也可以不相容的。 A 概念A、B、C之间的相容并列关系可用图表示： 例：小说家：诗人：剧作家： 无穷数列：有界数列：递增数列 2的倍数：3的倍数：5的倍数：7的倍数。 概念A、B、C之间的不相容并列关系，可用下图表示 例：红色：蓝色：蓝色 加：减：乘：除： 正弦：余弦：正切：余切：正割：余割。 并列关系多指三个或三个以上种概念之间的关系。 [小结]数学中的概念很多，概念之间的关系也比较复杂。教学中我们可以利用 欧拉图把这些关系直观地表示出来，便于学生掌握和理解。例如：四边形及其 系列种概念关系可如图所示： 四边形 平行四边形 梯形 梯形 格 概念之间的关系可概括为：
9 时应指出是对于那个属概念而言的。 除以上各种关系外，概念之间还有一种并列关系。 3、并列关系 同一属概念的几个种概念之间的关系叫做并列关系。 概念的并列关系，可以是相容的，也可以不相容的。 概念 A、B、C 之间的相容并列关系可用图表示： 例：小说家；诗人；剧作家； 无穷数列；有界数列；递增数列； 2 的倍数；3 的倍数；5 的倍数；7 的倍数。 概念 A、B、C 之间的不相容并列关系，可用下图表示： 例：红色；蓝色；蓝色； 加；减；乘；除； 正弦；余弦；正切；余切；正割；余割。 并列关系多指三个或三个以上种概念之间的关系。 [小结] 数学中的概念很多，概念之间的关系也比较复杂。教学中我们可以利用 欧拉图把这些关系直观地表示出来，便于学生掌握和理解。例如：四边形及其一 系列种概念关系可如图所示： 概念之间的关系可概括为： C B A C B 四边形 平行四边形 梯形 矩 形 菱 形 等腰 梯形 直角 梯形 正 方 形 A