©山东厘工大军 三、 向量组的线性相关性 定义2：给定向量组AQ1,2,am,如果存在 不全为零的数k,k,.,km,使 k14+k32+.+kmam= 则称向量组A是线性相关的，否则称它是线性无关. 注意1：若1，a2,.,am线性无关，则只有当k1=k2 .=km=0时，才有k41+k22+.+kmm=( 成立 注意2：对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关 的 注意3：向量组只包含一个向量α时，若a=O测说o线性相关； 若#O,则说α线性无关. 注意4：包含零向量的任何向量组是线性相关的
定义2: 给定向量组A: 1 , 2 , ···, m , 如果存在 不全为零的数 k1 , k2 , ···,km , 使 k11 + k22 + ···+ kmm = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关. 注意1: 若1 , 2 , ···, m线性无关, 则只有当k1=k2 = ···=km=0时, 才有k11 +k22 + ···+kmm = O成立. 注意2: 对于任一向量组而言, 不是线性无关的就是线性相关 的. 注意3: 向量组只包含一个向量 时,若=O则说线性相关; 若O, 则说 线性无关. 注意4: 包含零向量的任何向量组是线性相关的. 三、 向量组的线性相关性
部分组：从向量组a,a2,am中任取若干个 向量，组成的新的向量组. 注意5：向量组的一个部分组线性相关，那么向量组 是线性相关的. 向量组线性无关，那么它的部分组线性无关。 几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线。 (2)三向量线性相关：三向量共面. 王王王王王王 例1：用定义判断线性相关性。 (①)向量0，a,B,Y线性相关。 (2)向量a,a,B,y线性相关
几何意义：(1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 例1：用定义判断线性相关性。 (1) 向量 o, , , 线性_关。 (2) 向量 , , , 线性_关。 相 相 1 2 : , , , 部分组 从向量组 m 中任取若干个 向量, . 组成的新的向量组 注意5: 向量组的一个部分组线性相关，那么向量组 是线性相关的. 向量组线性无关，那么它的部分组线性无关
©少东厘工大写 例3：已知向量组a,a,.a,线性无关，试证向量组 月=a,月2=a+a,.,月，=a+,+.+a,线性无关 证：设kR+kB++k,月，=0，则 ka+k2(a+a2)++k,(a+a2++a,)=0, 或写成 王王王王王王 (k+k2++k,)a1+(k2+.+k,)a2+.+k,a,=0, 由于，.，0，线性无关，故上式当且仅当 k1+k2+.+k,=0 显然k1=k2=.=k,=0 k2+.+k,=0 所以B,P2,.,B,线性无关 k,=0
线性无关. 1 1 2 1 2 1 2 , , , r r = = + = + + + 证： 设 1 1 2 2 0, r r k k k + + + = 则 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 0, r r k k k + + + + + + + = 或写成 ( 1 2 1 2 2 ) ( ) 0, r r r r k k k k k k + + + + + + + + = 由于 1 2 , , , , r 线性无关 ，故上式当且仅当 1 2 2 0 0 0 r r r k k k k k k + + + = + + = = 显然， 线性无关. 1 2 , , , r 所以 1 2 0 r k k k = = = = 例3: 已知向量组 1 2 , , r 线性无关, 试证向量组
例4：已知向量组a1,42,3线性无关，试证向量组 b1=a1+2,b2=a2+3,b3=3+1线性无关 证：设有x1,x2,x3,使 x1b1+x2b2+x3b3=0 即 x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+3(3+L1)=O, 亦即 (x1+x3)a1+(x1+x2)42+(x2+x3)M3=0 因向量组a1,2,a3线性无关， 所以， x1+x3=0 101 1+x2=0 由于 110: =2≠0， x2+X3=0 011 故方程组只有零解，即只有 X1=X2=x3=0 因此由定义得，向量组b,b2,b3线性无关
+ = + = + = 0 0 0 2 3 1 2 1 3 x x x x x x 证: 设有x1 , x2 , x3 , 使 x1 b1 + x2 b2 + x3b3 =O 即 x1 (a1+a2 )+ x2 (a2+a3 )+ x3 (a3+a1 )= O, 2 0, 0 1 1 1 1 0 1 0 1 由于 = 故方程组只有零解, 即只有 因此由定义得, 向量组b1 , b2 , b3线性无关. 1 2 3 x x x === 0 例4: 已知向量组a1 , a2 , a3线性无关, 试证向量组 b1=a1+a2 , b2=a2+a3 , b3=a3+a1线性无关. 因向量组a1, a2, a3线性无关, 所以, 亦即 + + + + + = 1 3 1 1 2 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) 0 x x a x x a x x a
例5：设维向量组a=(a1,a2,ari=12,m H维向量组以=(a1,a2,a4hi=1,2,m 若r维向量组a,a2,am线性无关试证： r十1维向量组a,a,.,am线性无关。 拉 用反证法。若向量组a,a线性相关则存在 不全的数k1,k2,.,km,使得 王二二二王王王 ka+k2a+.+kmam=0 成立 (3 即 n=0 +.+km 1) =0 (1) =0 mr
例5：设 r＋1维向量组i = (ai1 , ai2 , , ai r，ai r＋1 ), i = 1,2, ,m r维向量组i = (ai1 , ai2 , , ai r ), i = 1,2, ,m , , , , : 若r维向量组1 a2 am 线性无关 试证 1 , , , . r＋ 维向量组 1 2 m 线性无关 证： 用反证法。若 向量组 1 , 2 , , m 线性相关,则存在 不 全 为0的 数k1 , k 2 , , k m , 使 得 k1 1 + k 2 2 + + k m m = 0 成 立 即 + + + = + + + = + + + = + + + 0 0 0 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 r r mr m r r mr m m m a k a k a k a k a k a k a k a k a k (1) + + + + + + = 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 0 m m m r r mr r r m r a a a a a a k k k a a a a a a (1)