第七节单侧置信区间 背景 在某些问题中，我们关心的是随机变量平均取值的 “下限”，如平均寿命等；而有时关心的是随机变量平 均取值的“上限”，如废品率、杂质含量等 1.定义 对于给定值a(0<a<1),若由样本X1,X2,.,Xn确定的统计量 日=2X1,X2,.,Xn),对于任意0∈⊙满足：P{0>8}≥1-a, P0<0≥1-a, 称随机区间(B,∞)是日的置信水平为1-的单侧置信区间， (-∞，0) 0称为0的置信水平为1-0的单侧置信下限 0 单侧置信上限
背景 1. 定义 在某些问题中，我们关心的是随机变量平均取值的 “下限”，如平均寿命等； 而有时关心的是随机变量平 均取值的“上限”，如废品率、杂质含量等. 1 2 1 2 (0 1), , , , ( , , , ) , { } 1 , n n X X X X X X P = − 对于给定值 若由样本 确定的统计量 对于任意 满足： 称随机区间( , ) − 是 的置信水平为1 的单侧置信区间, { } 1 , P − 单侧置信上限 第七节 单侧置信区间 1 称为 的置信水平为 − 的单侧置信下限. ( ) −，
)P{u>}=1-a 2.正态总体均值的单侧置信区问即 (2)P{u<?=1-a 设正态总体X的均值是山，方差是o,(均为未知) X1,X2,Xn是一个样本 岩-a-方P{后-1-a 由 S/√n 即P-4-小=1-a 于是得的一个置信度为1一a的单侧置信区间 (-2a- u的置信度为1-a的单侧置信下限为：u=下-S .u-1)
2. 正态总体均值的单侧置信区间 2 设正态总体 , , ( ) X 的均值是 方差是 均为未知 1 2 , , , , X X Xn 是一个样本 ~ ( 1), / X t n S n − 由 − 1 , / X P S n − = − 有 ( 1), , S X t n n − − + 于是得 的一个置信度为 1 − 的单侧置信区间 的置信度为 1− 的单侧置信下限为： ( 1). S X t n n = − − ( 1) 1 , S P X t n n − − = − 即 t n( 1) ? − (1) ? 1 (2 1 ) ? P P = − = − 即
I)P{μ>=1-a 同样地，对于置信水平1- 2P{u<=1-a sr台4.a-小1-a t1-a(n-1)=-ta(n-1) 可解导-a-=+- 故4的置信水平1-a的单侧置信区间为：(-0，下+S 米钢置标上限为：=+a-)
同样地，对于置信水平1− 若令 1 ( 1) 1 X P t n S n − − − = − 1 ( 1) S X t n n 可解得 − − − 故 的置信水平1−的单侧置信区间为：( , ( 1)) S X t n n − + − 单侧置信上限为: ( 1) S X t n n = + − ( 1) S X t n n = + − 1 t n t n ( 1)= ( 1) − − − − (1) ? 1 (2) ? 1 P P = − = −
3.正态总体方差的单侧置信区间 P{o2<?=1-a 即 2p{a2>?}-1-a 若总口为未知，取。-7a- (1)σ2的单侧置信上限 r心-小- 净ro2-1。 移o的一个1信度0 为1-a的单侧置信区间： 元an-d 六g的置信度为1-a的单侧置信上限为：。=（n-1S .(n-)
2 2 2 1 ( 1) ( 1) 1 , n S P n − − − = − 有 2 1 − 于是得 的一个置信度 为 的单侧置信区间： 2 − 的 置 信 度 为 1 的 单 侧 置 信 上 限 为 ： 2 2 2 1 ( 1) 1 , ( 1) n S P n − − = − − 即 3. 正态总体方差的单侧置信区间 2 若总体 、 均未知， 2 2 2 ( 1) ~ ( 1), n S n − 取 − 2 2 1 ( 1) 0, , ( 1) n S − n − − 2 2 2 1 ( 1) . ( 1) n S n − − = − (1) 2的单侧置信上限 2 2 (1) ? 1 (2) ? 1 P P = − = − 即
)P{σ2<}=1-a (2)σ2的单侧置信下限 2{g>3=1-g 因 n-1)S2 ◆re<o-小-1a 故σ的置信水平的置信水平1一a的单侧置信区间为 (n-1)S2 x2n-1 ·单侧置信下限为g=-1 x2(n-1)
2 2 2 ( 1) ~ ( 1) n S n − 因 − 令 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 n S P n − − = − 2 故 的置信水平的置信水平1− 的单侧置信区间为 2 2 ( 1) , ( 1) n S n − + − 2 2 2 ( 1) ( 1) n S n − = − 单侧置信下限为 (2) 2的单侧置信下限 2 2 (1) ? 1 (2) ? 1 P P = − = −