©P本理工大军 例2：证明向量ax(04,2)是向量ax(1,2,3)a(2,3,1), a3,1,2)的线性组合，并将o用a1,az2,a3 线性表示 解：先假设a=1ax+22a2十入3a3,即 (0,4,2=入1,2,3开22(2,3,1t23(3,1,2) λ十2兄2十323=0 123 因此 {2十32+2=4 由于 231=18≠0 3九+兄2+222 312 所以方程组有唯一解，可得入1，入21，入=一1， 于是 0=a1+a2a3
例2: 证明向量 ＝(0，4，2) 是向量 (1 2 3) (2 3 1) 1 ＝ ，2 ＝ ， 3 ＝(3，1，2)， 的线性组合, 并将 1 2 3 用 , , 线性表示 解: 先假设 ＝1 1 ＋2 2 ＋3 3 ， 即 (0 4 2) (1 2 3) (2 3 1) (3 1 2) ，＝1 ，＋2 ，＋3 ， 3 2 2 2 3 4 2 3 0 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ 因此 由于 18 0 3 1 2 2 3 1 1 2 3 ＝ － 所以方程组有唯一解,可得 1 ＝1，2 ＝1，3 ＝ －1， 于是 ＝1 ＋2 －3
小结： a与a1,a2,am的关系为以下三种情院一： 1、a可由a1,a2,.,am线性表示，且表达式唯一， 2a可由a1,&2,an线性表示，但不唯一 如0,0)=(4，-1)+(1,1)=01，-1)+0(-1,1) 3不能由a1,a2,am线性表示 回
小结: , , , : 与1 2 m 的关系为以下三种情形之 一 1、 可 由1 , 2 , , m 线性表示， 且表达式唯一； 2、 可 由1 , 2 , , m 线性表示， 但不唯一， 如(0, 0) = (1, −1)+ (−1,1) = 0(1, −1)+ 0(−1,1) 3、 不能由1 ,2 , , m 线性表示
二、元线性方程组、矩阵、向量组的关系 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组 成的集合叫做向量组， 例如：矩阵A=(amxm有n个m维列向量： 11 12 A- 21 L22 2n mj 向量组a1,2,an称为矩阵A的列向量组
向量组α1 , α2 ,···, αn称为矩阵A的列向量组. 若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组 成的集合叫做向量组. 例如: 矩阵A=(aij)mn有n个m维列向量: = a a a a a a a a a a a a m m mj mn j n j n A 1 2 21 22 2 2 11 12 1 1 1 2 j n 二 、 n元线性方程组、 矩 阵、 向量组的关系
类似地，矩阵A-(amxn有n个n维行向量： 402122 a2n a, A= a402 a aml am2 向量组a,a必，am称为矩阵A的行向量组. 上页 回
= a a a a a a a a a a a a m m mn i i in n n A 1 2 1 2 21 22 2 11 12 1 1 向量组1 ’ , 2 ’ ,···, m ’称为矩阵A的行向量组. 类似地, 矩阵A=(aij)mn有m个n 维行向量: 2 i m
线性方程组的向量表示 12 L211 22 因此线性方程组可写为 a1x1+02x2+.+0nxn=B 于是方程组有没有解的问题转化为向量B能否由 向量组01，C2,:,0n线性表示 王
线性方程组的向量表示 + + + = + + + = + + + = m m mn n m n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 1 1 2 2 n n x x x + + + = 1 2 n 因此线性方程组可写为 方程组有没有解的问题转化为向量 能否由 向量组 线性表示. 1 2 , , , n 于是