二、幂级数及其收敛性8Z形如an(x-xo)" = ao +a(x-xo)+a2(x-xo) +n=0L +a,(x-x)"+L其中数列an(n=0,l,)称的函数项级数称为幂级数为幂级数的系数下面着重讨论 xo=0的情形,即80ZLanx"= a +ax+a,x +L +a,x" +Ln=0814hZx<1 即是此种情形例如，幂级数1-xn=0oeo0x机动目录上页下页返回结束
二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 , 1 1 1 0 − = = x x x n n 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 机动 目录 上页 下页 返回 结束
8nZ定理1.（Abel定理）若幂级数anxn=0在x=xo点收敛,则对满足不等式|x<|xo武国年的一切x幂级数都绝对收敛反之,若当x=xo时该幂级数发散,则对满足不等式x>xo」的一切x，该幂级数也发散证：设anx 收敛,则必有lim anx=0,于是存在n-00n=0常数M>0.使anxo≤M (n=1,2,.)收敛发散收o敛发散入发散O000?阿贝尔目录上页下页返回结束
发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛发散 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 n=0 n n a x 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M > 0, 使 阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
n.n+xXn≤M20nnXoxo8XZanrnMZ收敛,也收敛..当x<xo时,xon=0n=0故原幂级数绝对收敛反之，若当x=xo时该幂级数发散，下面用反证法证之假设有一点x,满足x>xo「且使级数收敛，则由前面的证明可知，级数在点x。也应收敛，与所设矛盾故假设不真：真．所以若当x=xo时幂级数发散，则对一切满足不等式|x>|xo的x，原幂级数也发散证毕Oe000x机动目录上页下页返回结束
当 x x0 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 0 x = x 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 1 x 1 0 x x 0 x 满足不等式 0 x x 所以若当 0 x = x 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, n n n n n n x x a x a x 0 = 0 n n n x x a x 0 0 = 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束
8Z的收敛域是以原点为anxn由Abel 定理可以看出n=0中心的区间定理2.对于任意的具有非零的收敛点和发散点的幂8Zanx"，必存在一个确定的非负数 R，使得级数n=0当|x「<R时，级数绝对收敛；当x|>R时，级数发散；当x=土R时，级数可能收敛，也可能发散O0000x机动目录上页下页返回结束
级数 由Abel 定理可以看出, n=0 n n a x 中心的区间. 定理2. 对于任意的具有非零的收敛点和发散点的幂 的收敛域是以原点为 ，必存在一个确定的非负数 R ，使得 发散；当 x = R 时，级数可能收敛，也可能发散. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n=0 n n a x 当 | x | < R 时，级数绝对收敛；当 | x | > R 时，级数
用±R表示幂级数收敛与发散的分界点，则R=0时,幂级数仅在 x=0 收敛;R= 时,幂级数在（-00,+oo)收敛;0<R<，幂级数在（-R,R）收敛;在『-R,R1外发散；在x=±R可能收敛也可能发散.圣，（-R，R）称为收敛区间R称为收敛半径（-R，R）加上收敛的端点称为收敛域收敛发散女x发散收敛发散O0ol0l0X机动目录上页下页返回结束
幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 外发散; 在 x = R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 收 o 敛 发 散 x 收敛 发散 机动 目录 上页 下页 返回 结束