第六章第三节幂级数一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、 幂级数的运算四、幂级数和函数的性质Oeo0x机动目录上页下页返回结束
第三节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 四、幂级数和函数的性质
函数项级数的概念设un(x)(n=1,2，)为定义在区间I上的函数,称Eu,(x) =u(x)+u,(x)+L +u,(x)+Ln=1为定义在区间I上的函数项级数8对xoEI，若常数项级数Zun(xo)收敛，称xo为其收n=1敛点，所有收敛点的全体称为其收敛域；8若常数项级数Zun（xo）发散，称xo为其发散点，所有n=1发散点的全体称为其发散域oe000x机动目录上页下页返回结束
一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 0 称 x 为其收 0 称x 为其发散点, u (x) (n =1,2, ) n 发散点的全体称为其发散域 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在收敛域上，函数项级数的和是x的函数 S(x），称它为级数的和函数，并写成8S(x)=Eun(x)n=l若用S，(x)表示函数项级数前n项的和,即nSn(x)=Eus(x)k=1令余项rn(x)= S(x)- Sn(x)则在收敛域上有lim Sn(x)= S(x) ,lim rn(x) = 0n>00n->00Oe000X机动目录上页下页返回结束
为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 机动 目录 上页 下页 返回 结束
80Ztrn=1+x+x2+L +xn +L例如，等比级数n=0它的收敛域是（-1,1）,当xE(-1,1)时，有和函数81Z:th1-xn=0它的发散域是（-0，1]及[1，+），或写作|x|≥1.n.-n8+xxZ(x≠0),当x|=1时收敛又如,级数2nn=0但当0<x|≠1时,lim un(x)=0,级数发散;n-所以级数的收敛域仅为「x=1.oe000x机动自录上页下页返回结束
例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 (− , −1]及[1，+ ）, 或写作 x 1. 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.讨论下列级数的收敛域Xsin nxZ(1)2nn=118Z(2)x+n+lx+nn=1O0000x机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论下列级数的收敛域 2 1 sin (1) n nx n = 1 1 1 (2) ( ) n x n x n 1 = − + + + 机动 目录 上页 下页 返回 结束