第七章第三节空间的曲面和曲线一、空间曲面二、空间曲线三、二次曲面O0000x机动目录上页下页返回结束
第三节 一、空间曲面 二、空间曲线 三、二次曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间的曲面和曲线 第七章
一、空间曲面引例：求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程解:设轨迹上的动点为 M(x,y,z),则AM=BM|,即V(x-1)? +(y-2)2 +(z -3)?= /(x - 2)2 +(y+1)2 +(z - 4)2化简得2x-6y+2z-7=0说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面显然在此平面上的点的坐标都满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程O0000X机动目录上页下页返回结束
一、空间曲面 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点为 M (x, y,z),则 AM = BM , 轨迹方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义1.如果曲面S与方程F(x,J,z）=0有下述关系(1）曲面S上的任意点的坐标都满足此方程：(2)不在曲面 S上的点的坐标不满足此方程则F（xz）=O叫做曲面S的方程F(x, y,z) = 0曲面S叫做方程F(x,z）=O的图形一S两个基本问题：y0(1）已知一曲面作为点的几何轨迹时x求曲面方程(2）已知方程时，研究它所表示的几何形状（必要时需作图）O0000?机动自录上页下页返回结束
定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求动点到定点 Mo(xo,yo,zo）距离为 R的轨迹方程解：设轨迹上动点为 M(x,y,z),依题意M.M=R即V(x- xo)2 +(y- yo)? +(z - zo)2 = R故所求方程为(x -xo) +(y- o)2 +(z-zo)2 = R2Z特别,当M.在原点时,球面方程为Mox? + y? + 2? = R?1z=±/R2x2-y2表示上(下)球面0yXO0000x机动目录上页下页返回结束
故所求方程为 例1. 求动点到定点 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M M0 表示上(下)球面 . x − x + y − y + z − z = R 2 0 2 0 2 0 ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) = R 2 2 2 2 x + y + z = R 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 研究方程x2+y2+22-2x+ 4y=0 表示怎样的曲面。(x -1)2 +(y+2)2 + z2 = 5解：配方得此方程表示球心为 Mo(1,-2, 0),半径为~5的球面说明：如下形式的三元二次方程（A≠0）A(x? +y? + z?)+ Dx+Ey+ Fz+G= 02都可通过配方研究它的图形.其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹Oe0D0X机动目录上页下页返回结束
例2. 研究方程 解: 配方得 5 (1, 2, 0), 此方程表示: M0 − 说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 的球面. 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 机动 目录 上页 下页 返回 结束