《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第10章 曲线积分和曲面积分 Ch 10-6 高斯公式和斯托克斯公式

第十章第六节Gauss公式和Stokes公式推广Gauss 公式Green 公式一Stokes 公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三、Stokes公式O0000x机动目录上页下页返回结束

第六节 Green 公式 推广 Gauss 公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、Stokes公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Gauss公式和Stokes公式 第十章 Stokes 公式

一、高斯（Gauss）公式定理1.设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Z所围成,Z的方向取外侧，函数P,O,R在2上有连续的一阶偏导数，则有ORap00dxdydzOyOzOX, Pd ydz+Qdzdx+ Rdxd y（Gauss公式）下面先证：aR1a02Rdxdydxdydz=H1Oe000X高斯目录上页下页返回结束

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 ,  = Pd y d z + Qd z d x + Rdxd y x y z z R d d d     = Rd xd y 下面先证: 面 所围成,  的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式) 高斯 目录 上页 下页 返回 结束

证明: 设Q:zi(x,y)≤z(x,y)≤z2(x,y), (x,y)e Dxy为XY型区域,Z=Z, UZ2UZ3,Zi : z= z1(x,y)Z2 : z = z2(x, y),则ztN2aRz2(x,y)oR102Rdxdydz=(, dxdydzZ3zi(x,y) OzZ1(ID (R(x,y, z2(x,y))X1yD- R(x, y, zi(x, y)) fd xd yXuX, Rdxd y =(J,+ Jz+ J,)Rd xd yR(x, y, z2(x, y)dxdy- (, R(x, y, zi(x, y)d xdyX1O0000x定理1目录上页下页返回结束

2 3 1  z y x Dxy R(x, y, ) − R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1  z = z x y 证明: 设 ,  = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1     = Dxy ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  Rd xd y  = Dxy (  = 2 x y z z R d d d    d xd y  + 1  + 3 )Rd xd y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dxdy  − Dxy  = Dxy ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

aRSI.dxdydz=, Rdxdy所以20z若Q不是XY-型区域，则可引进辅助面将其分割成若干个XY-型区域，在辅助面正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立apdxd ydz =f_ Pdydz类似可证QaxQJloaydxdydz= ,Qdzdx三式相加，即得所证Gauss 公式：aRapaQd x d ydzmayOzax= f, Pd yd z+Qdzdx+ RdxdyO0000?定理1目录上页下页返回结束

所以 x y z z R d d d     = Rd xd y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

高斯公式的另一种形式aRap00dxdydzooxOzOy$,(Pcos α+Qcos β+ Rcos r)ds其中 cosα,cosβ,cos为闭曲面Z的外法线方向余弦特例: 令 P(x,y,z)= x,Q(x,y,z)= y, R(x,y,z)=z由Gauss公式,则几何体Q的体积为：V=ff, xd ydz+ydzdx+zdxd y4Oe000x定理1目录上页下页返回结束

高斯公式的另一种形式: cos ,cos ,cos    P x y z x Q x y z y R x y z z ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) = = = ( cos cos cos ) P Q R dS     = + +  1 d d d d d d 3 V x y z y z x z x y  = + +  特例: 令 由Gauss公式,则几何体Ω的体积为: 其中 为闭曲面Σ的外法线方向余弦. 定理1 目录 上页 下页 返回 结束