第十章第七节场论初步场的表示法、方向导数二、三、梯度四、向量场的散度五、向量场的旋度Oe000X机动目录上页下页返回结束
第十章 第七节 二、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、梯度 一、场的表示法 场论初步 四、向量场的散度 五、向量场的旋度
一、场的表示法数量场(数量函数)如：温度场，电位场等函数场(物理量的分布)向量场(矢量函数）如：力场，速度场等O0000x机动自录上页下页返回结束
一、场的表示法 函数 (物理量的分布) 数量场 (数量函数) 场 向量场 (矢量函数) 如: 温度场, 电位场等 如: 力场, 速度场等 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、方向导数定义:若函数f(x,y,z)在点 P(x,y,z)处pp沿方向l(方向角为α，β,)存在下列极限：P(x, y,z)Aflimp-0pf(x+x, y+Ay,z+ △z) - f(x,y,z)记作a f= limalp→0pp= /(△x)? +(Ay)? +(△z)?,△x=pcosα, Ay=pcos β, △z=pcos yaf则称为函数在点P处沿方向「的方向导数alO0000?机动自录上页下页返回结束
l P(x, y,z) 二、方向导数 定义: 若函数 f (x, y,z) f →0 lim 则称 l f l f 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = → 在点 P(x, y,z) 处 沿方向 l (方向角为 , , ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束P = 记作
定理：若函数 f(x,y,z)在点 P(x,y,z)处可微则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有afafafafcos βcosα+COSYalaxazayp'其中α，β,为l的方向角p证明：由函数f(x,y,z)在点P可微，得P(x,y,z)afafaf入1z+o(p)1x+10xayazofafCcos)+o(p)COScosaαOzoyaxafafafaf△f故limCOSCOSCOSα +alaxayazpp-→0O00100机动目录上页下页返回结束
若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , P(x, y,z) l 定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , f l f = →0 lim cos cos cos z f y f x f l f + + = 证明: 由函数 f (x, y,z) z o( ) z f y y f x x f f + + + = = ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 故 cos cos cos z f y f x f + + =
对于二元函数,f(x,y),在点 P(x,y)处沿方向 l(方向角为α,β）的方向导数为y = lim (x+Ax, y+y)-f(x,)alp→0pP= fx(x, y)cosα + f,(x, y)cos βx0(p = /(Ax)2 +(Ay)?, △x= pcosα, △y= pcos β特别：afaf元时,有·当1与x轴同向(α=0,β3=2alaxafaf元·当1与x轴反向(α=元,β=)时,有2al0xoeo0x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 f (x, y), 为, ) 的方向导数为 在点P(x, y)处沿方向 l (方 ( , ) ( , ) lim 0 f x x y y f x y l f + + − = → = f x (x, y)cos + f y (x, y)cos P l x y o x f l f = 特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0, = = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 , = = x f l f = − l 向角