第八章习题课多元函数微分法基本概念7二、多元函数微分法三、多元函数微分法的应用Oe000X机动目录上页下页返回结束
习题课 第八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法
基本概念极限、连续1.多元函数的定义、·定义域及对应规律·判断极限不存在及求极限的方法·函数的连续性及其性质2.几个基本概念的关系连续性偏导数存在方向导数存在可微性Oe00x机动目录上页下页返回结束
一、 基本概念 连续性 偏导数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 • 定义域及对应规律 • 判断极限不存在及求极限的方法 • 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习xyJim1.讨论二重极限时，下列算法是否正确?x0 x+yJ-→01解法1原式= lim0x-→0 1+1xy-0 Jk解法2 令y=kx,原式=lim x：0x→0^1+k解法3 令x=rcos,=rsin,rcossin原式=limE0r→0cos0+sin00e000x机动自录上页下页返回结束
思考与练习 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 原式 解法2 令 y = kx, 解法3 令 x = r cos , y = rsin, 时, 下列算法是否正确?
分析：1xylimlim解1x→0 1± 1x-→0x+yxy-0 JJ-0此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况，第二步未考虑分母变化的所有情况，例如,=吾时，+=117此时极限为1：k=0解法2 令y=kx，原式=limxx→0 1+k此法排除了沿曲线趋于原点的情况.例如=x2－x时32X原式= lim一fx-0O0000?机动目录上页下页返回结束
分析: 解法1 0 1 lim 1 1 0 0 = + = → → y x y x 解法2 令 y = kx, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 例如 y = x 2 − x时 此时极限为 1 . 第二步 未考虑分母变化的所有情况, , , 1, 1 1 1 = + = x− y x x 例如 y 时
解沃 令 x=rcos,y=rsinr cosOsin0原式=lim0r→0cos0+sin0此法忽略了θ的任意性，当r→0,→-时rcosOsin0rcosQsino极限不存在！cos+sinの2sin(+)由以上分析可见，三种解法都不对，因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点：同时还可看到本题极限实际上不存在：特别要注意，在某些情况下可以利用极坐标求极限但要注意在定义域内r，θ的变化应该是任意的O0000?机动目录上页下页返回结束
解法3 令 x = r cos , y = rsin, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了 的任意性, 极限不存在 ! 由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 . 特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在