第十章第五节对坐标的曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系e000x机动目录上页下页返回结束
第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十章
一、有向曲面及曲面元素的投影双侧曲面·曲面分类曲面分内侧和单侧曲面外侧曲面分左侧和曲面分上侧和莫比乌斯带右侧下侧(单侧曲面的典型）Oe00X机动目录上页下页返回结束
一、有向曲面及曲面元素的投影 • 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 (单侧曲面的典型) 右侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束
·指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向表示：方向余弦封闭曲面cos βcOS cOs α外侧>0 为前侧>0为上侧>0 为右侧侧的规定内侧<0 为后侧<0为下侧<0 为左侧·设≥为有向曲面，其面元^S在xoy面上的投影区域的面积为(△α）x，则△S在xoy面上的有向投影(△S)xy规定为(△o )xy,当cos>O时类似可规定(△S)xy =人-(△g )xys当cos<O时(△S) yz (△S) zx当cos=O时0,O000?机动自录上页下页返回结束
其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos cos > 0 为前侧 < 0 为后侧 封闭曲面 > 0 为右侧 < 0 为左侧 > 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设 为有向曲面, S S (S) xy = 侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xoy 面上的投影区域 的面积为 规定为 ( ) , xy ( ) , − xy 0 , 当cos 0时 当cos 0时 当cos 0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 在 xoy 面上的有向投影
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为=(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x, y,z))求单位时间流过有向曲面乙的流量Φn分析：若Z是面积为S的平面法向量： n=(cosα,cosβ,cosy)流速为常向量：则流量Φ=S.cos0=Sv.nOe00X机动目录上页下页返回结束
二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S 分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对一般的有向曲面乙，对稳定流动的不可压缩宿流体的速度场 =(P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)ni,yi用“大化小，常代变，近似和，取极限"n进行分析可得 Φ = lim, -n;AS;1-0i=1Z设 n; =(cosαi,cos βi,cosi),则nZ[ P(si, ni,Si)cosα; +Q(5i, ni,Si)cos βΦ= lim 1-0i=1+ R(Si, ni,S)cos Yi ]ASn lim-E[ P(5i, ni,Si)(AS,) yz +Q(5i, Ni,Si)(AS,)z1-0i-1+ R(5i, ni,S)(△S,)xy ]o0l00x机动目录上页下页返回结束
对一般的有向曲面 , 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” = n i 1 0 lim → = 0 lim → = = n i 1 P i i i i ( , , )cos R i i i i + ( , , )cos 0 lim → = = n i 1 Q i i i i + ( , , )cos Si 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ni i v i ni Si v (cos , cos , cos ) ni i i i 设 = , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束