第十章第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的计算法二、三、 两类曲线积分之间的联系oeoox机动目录上页下页返回结束
第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章
一、对坐标的曲线积分的概念与性质1.引例：变力沿曲线所作的功ytBL设一质点受如下变力作用AF(x, y) =(P(x, y), Q(x,y)在xoy平面内从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,求移动过程中变力所作的功W解决办法变力沿直线所作的功“大化小"F“常代变"W = FABcos 0“近似和"0= F.ABAZB“取极限’Oe000x机动目录上页下页返回结束
一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, A B L x y 求移 W = F AB cos “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. A = F AB B F F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1)“大化小”把L分成n个小弧段,F沿Mk-1MkF(Ek,nk)所做的功为△Wk，则BL△yknW=ZAWk△xkk=1A2）“常代变"x有向小弧段M-M,用有向线段Mk-1M=(Ax，Ayk）近似代替，在Mk-M上任取一点(，n),则有AWk ~ F(Ek, nk) . Mk-1Mk= P(Sk, nk)△xk +Q(Sk, Nk)AykOe000x机动目录上页下页返回结束
Mk−1 Mk A B x y 1) “大化 小”. 2) “常代变” L 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 k k k k = P( , )x + Q( , )y k k 所做的功为 F 沿 Wk F k Mk 1Mk ( , ) − k ( , ) F k k = = n k W Wk 1 则 用有向线段 在 上任取一点 k y k x 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3）“近似和"nW~Z [P(Ek, nk)Axh +Q(ck, nk)Ayk ]k=14）“取极限"nZ[P(Ek, nk)4xk +Q(Ek, nk)4yk]W = lim1-0k=1F(5k,nk)(其中为n个小弧段的yB最大长度)L△yk△xkxoe000x机动目录上页下页返回结束
3) “近似和” 4) “取极限” = n k W 1 k k k k k k P( , )x + Q(ξ , )y = → = n k W 1 0 lim k k k k k k P(ξ , η )Δx + Q(ξ , η )Δy Mk−1 Mk A B x y L ( , ) F k k k y k x (其中 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.定义.设L为xOy平面内从A到B的一条有向光滑弧，在L上定义了一个向量函数F(x, y) =(P(x,y), Q(x,y)若对L的任意分割和在局部弧段上任意取点，极限nlimE [ P(Ek, nk)Ax+Q(5k, nk)Ayk]-0k=1记作(, P(x, y)dx +Q(x, y)dy都存在,则称此极限为函数F（x,y）在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，或第二类曲线积分.其中,P(x,y)，Q(x,y)称为被积函数，L称为积分弧段或积分曲线Oe000x机动目录上页下页返回结束
2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, + L P(x, y)dx Q(x, y)dy k k k P( , )x k k k + Q( , )y = n k 1 0 lim → 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, 称为被积函数 , L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束