第六章第·节傅里叶级数一、三角级数及三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数二、三、正弦级数和余弦级数O0000x机动目录上页下页返回结束
第八节 一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数 第六章 傅里叶级数
一、三角级数及三角函数系的正交性（谐波函数）简单的周期运动:y=Asin(のt+)（A为振幅，の为角频率，β为初相）8复杂的周期运动：=Ao+ZAnsin(nのt+n）n=1（谐波迭加）An sinPn cos not+ An cos Pn sinnotao令, an = An sinPn, bn = An cosPn, t=xAo28ao(an cos nx + bn sin nx)得函数项级数+2k=1称上述形式的级数为三角级数O0000?机动目录上页下页返回结束
一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sinn cos + n cosn sin 令 sin , an = An n cos , bn = An n 得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k + + = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1.组成三角级数的函数系1, cos x, sinx, cos 2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx,...在「-元，元]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在[一元，元]上的积分等于0。" 1.cosnxd x ={" 1 sinnxdx = 0(n=1,2,...)证:T元元cos kx cos nx dx7[cos(k +n)x +cos(k -n)x ]cos kxcos nx = ("[cos(k +n)x +cos(k-n)x Jd x= 0 (k ± n){" sinkxsinnxdx=0 (k±n)同理可证：元元coskx sinnxdx = 0元Oe000?机动目录上页下页返回结束
cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − − 定理 1. 组成三角级数的函数系 证: − 1 cos nxd x = − 1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx − = 0 sin sin d = 0 − kx nx x 同理可证 : 正交 , 上的积分等于 0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x (k n ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一兀，元]上的积分不等于0．且有"1.1dx=2元元cos~nxdx =元一元(n=1,2, ...)元sin nxdx = 元一元1 + cos2nx1- cos2nx9sinCOSnx=nx :22O000X机动目录上页下页返回结束
上的积分不等于 0 . 11d = 2 − x sin nxdx 2 − cos n xdx 2 − , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 = = 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成傅里叶级数定理2.设f(x）是周期为2元的周期函数，且8t) = 0 + Z(an cos nx + bn sin nx)①f(x)2n=1右端级数可逐项积分，则有an =1J"f(x)cos nxdx(n=0,1,...)②bn =1["f(x)sinnxdx (n=l, 2,...)证：由定理条件，对①在[一元，元]逐项积分，得元元元8aoZan J cos nx dx + bn J sinnx dxJ f(x)dx =dx+2n:一元一元元元=ao元Oe00x机动目录上页下页返回结束
二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = + + = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件, + = + − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x dx ① ② 对①在 逐项积分, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束