第六章第二节正项级数的审敏法一、基本定理二、 比较审敛法三、比值审敛法四、根值审敛法O0000x机动目录上页下页返回结束
二、比较审敛法 三、比值审敛法 第二节 一、基本定理 正项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章 四、根值审敛法
一、正项级数及其审敛法8ZUn若un≥0,则称为正项级数，n=18Z二部分和序列S,un收敛二定理1.正项级数n=1(n =1,2,)有界8Ziun收敛，则Sn收敛，故有界证：“”若n=1cC37：un≥0，：部分和数列（Sn单调递增8又已知（Sn)有界，故(Sn}收敛，从而un也收敛n=1O0000x机动目录上页下页返回结束
一、正项级数及其审敛法 若 0, un n=1 un 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 则称 为正项级数 . 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “ ” 机动 目录 上页 下页 返回 结束
88设Zun,Zvn是两个正项级数，定理2（比较审敛法）n=1n=1且存在 NεZ+,对一切n>N,有un≤kvn(常数k>0),则有808Zun也收敛;(1)若强级数Vn收敛，则弱级数n=1n=188Tun发散，则强级数Vn也发散(2)若弱级数n=1n=1证：因在级数前加、减有限项不改变其敛散性，故不妨设对一切 nEZ+,都有unkvn令Sn和αn分别表示弱级数和强级数的部分和，则有0e000x机动自录上页下页返回结束
都有 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若强级数 则弱级数 (2) 若弱级数 则强级数 证: 设对一切 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有 是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Sn≤kon8vn收敛,则有=limn(1)若强级数n0n=1因此对一切nEZ+，有 Sn≤ko8un也收敛，由定理1可知，弱级数n=180Ztun发散,则有 lim Sn=00,(2)若弱级数n=1n-008Z因此limn=，这说明强级数Vn也发散，n>0n=1O0000x机动自录上页下页返回结束
(1) 若强级数 则有 因此对一切 有 由定理 1 可知, (2) 若弱级数 则有 因此 这说明强级数 也发散 . 也收敛 . 发散, 收敛, 弱级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
111例1.讨论p级数1++.(常数p>0)2p3Php的敛散性解:1）若 p≤1,因为对一切 nez+1hpn8发散，由比较审敛法可知p级数≥而调和级数n=inpn=1 n发散，Oe00x机动目录上页下页返回结束
例1. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束