第七章第二节空间平面和直线一、空间的平面方程二、空间的直线方程Oe00X机动目录上页下页返回结束
第二节 一、空间的平面方程 二、空间的直线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间平面和直线 第七章
一、空间的平面方程1、平面的点法式方程设一平面通过已知点 M。(xo,yozo)且垂直于非零向量n=（A,B,C),求该平面II的方程Znt任取点 M(x,y,z)II,则有M11MoMoM Iny故M.M.n=0MoM =(x-xo,y-yo,z-zo)A(x- xo)+ B(y- yo)+C(z -zo) = 0称①式为平面Ⅱ的点法式方程称n为平面Ⅱ的法向量Oe000?机动自录上页下页返回结束
z y x o M0 n ① 一、空间的平面方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、平面的点法式方程
例1.求过三点 M;(2,-1,4), M2(-1,3,-2),M3(0,2,3)的平面IⅡI的方程n解：取该平面ⅡI的法向量为n= MM,×MMM3Mijk-6-343-2-1=(14,9, -1)又 M, EII,利用点法式得平面 IⅡI 的方程14(x - 2) +9(y +1) - (z - 4) = 0即14x +9y- z-15= 0O0000x机动自录上页下页返回结束
i j k = 例1.求过三点 , 又M1 = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2 M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束
说明：此平面的三点式方程也可写成x-2 y+l z-44-3-6=03-2-1一般情况：过三点 Mk(xk,Jk,zk) (k=1,2,3)的平面方程为x-Xiz - Z1y-yi= 0平面的三X2 -XiY2 -y1Z2 - Z1点式方程X3 -XiY3 -Y1Z3 - Z1oe000x机动自录上页下页返回结束
此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面的三 点式方程
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为ZRP(a,0,0), Q(0,b,0), R(0,0,c)时，平面方程为Oigyx++==1 (a,b,c±0)baC此式称为平面的截距式方程分析:利用三点式x-aZy0b=0-a0-ac(x -a)bc- y(-a)c+ zab =0按第一行展开得即bcx + acy +abz = abcOe00x机动自录上页下页返回结束
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c 0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束