《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第8章 多元函数微分学及其应用 Ch 8-2 偏导数与全微分

第八章第二节偏导数全微分偏导数概念及其计算二、高阶偏导数三、全微分oeloloo机动目录上页下页返回结束

第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数 偏导数与全微分 第八章 三 、全微分

偏导数定义及其计算法一、1引例：研究弦在点xo处的振动速度与加速度，就是将振幅u(x,t)中的 x固定于 xo处,求u(xo,t)关于 t的一阶导数与二阶导数u(xo,t)uu(x,t)Xo0x10000x机动目录上页下页返回结束

一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅

定义1.设函数 z= f(x,y)在点(xoyo）的某邻域内f(xo + △x, yo) - f(xo, yo)极限limAxAr-0存在,则称此极限为函数 z= f(x,y)在点（xo,yo）对xozaf的偏导数，记为0 x(xo, yo)"0 x(xo, yo)XVo.fi(xo, yo) ; fi(xo, yo) f(xo + △x, yo) - f(xo, yo)注意：f(x,o)= limAx△x-→0d(x.yox=Xodx10000x机动自录上页下页返回结束

定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f   x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x 0 0 ( , ) ; x x y z  d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f  x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) x 注意: f x y 

同样可定义对y的偏导数f(xo, yo + Ay) - f(xo, Yo )J;(xo,yo)= lim y→0Ayd=ydy若函数z=f(x，）在域D内每一点（x，)处对x或偏导数存在，则该偏导数称为偏导函数，也简称为Oz, z, J(x,y), J(x,y)偏导数，记为0x0xaz,=, (x,y), f(x,y)ayayleol0x机动自录上页下页返回结束

同样可定义对 y 的偏导数 lim  →0 = y 0 0 ( , ) y f x y  若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 2 ( , ) , ( , ) y f x y f x y   ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , , , , y z f z y y     

偏导数的概念可以推广到二元以上的函数例如,三元函数u=f(x，,z)在点(x，，z)处对x的偏导数定义为f(x+△x, y,z) - f(x, y, z)f'(x,y,z) = lim△x△r→0fi(x, y,2)=?(请自己写出)f'(x, y,z) =?Oo00X机动目录上页下页返回结束

例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . x x + x ( , , ) ? y f x y z  = ( , , ) ? z f x y z  = x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数定义为 (请自己写出)