第十章第四节对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法O0000x机动目录上页下页返回结束
第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第十章
一、对面积的曲面积分的概念与性质设曲面形构件具有连续面密度p(x,y,z),求质引例:量 M.7类似求平面薄板质量的思想，采用(Ek,nk,Sk)大化小，常代变，近似和，求极限的方法,可得ZnEp(Sk,nk,Sk)ASkM =lim 02→0 k=1yx其中，入表示n小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者)O000?机动目录上页下页返回结束
o x y z 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 = n k 1 M = ( , , ) k k k 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定义：设为光滑曲面，f(x,z)是定义在上的一个有界函数，若对乙做任意分割和局部区域任意取点“乘积和式极限”n记作lim Zf(5k, nk,Sk)ASkI[ f(x, y,z)dS2-0k=1Z都存在,则称此极限为函数,f(x, z)在曲面Z上对面积的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y,z)叫做被积函数，乙叫做积分曲面据此定义,曲面形构件的质量为 M=(lp(x,y,z)dS曲面面积为 S=J,dSO0000?机动目录上页下页返回结束
M (x, y,z)d S = 定义: 设 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 f (x, y,z)d S 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积 函数, 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似·积分的存在性．若f(x,y,z)在光滑曲面Z上连续则对面积的曲面积分存在·对积分域的可加性若是分片光滑的，例如分成两片光滑曲面Z1,2，则有J,f(x,y,2)dS=JJ, f(x,y,2)dS + JI/ f(x,y,z)ds·线性性质．设kj,k2为常数,则[],[kif(x, y, 2)± k2g(x, y, 2)]d S= ki J, f(x, y,2)dS± k2 Jf,g(x, y,z)dseooo机动自录上页下页返回结束
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性. , , 1 2 则有 = f (x, y,z)d S 1 f (x, y,z)d S k1 f (x, y,z) k2 g(x, y,z) d S • 线性性质. = k1 f (x, y,z)dS k2 g(x, y,z)dS 在光滑曲面 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. • 积分的存在性. 若 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、对面积的曲面积分的计算法定理：设有光滑曲面Z : z = z(x, y),(x,y) e Dxyf(x,z)在上连续,则曲面积分J,J(x, ,z)dS 存在,且有J, (x, y,2) ds(△0k)xy(Ek, Nk,Sk)f(x, y, z(x,y)/ 1+ zx?(x, y)+ z,(x, y)dxdyX证明：由定义知nJJ, f(x,y,2)dS = limZf(sk,nk,Sr)ASk1-→0k=1o00l008机动自录上页下页返回结束
o x y z 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 上连续, 存在, 且有 f (x, y,z)dS = Dx y f (x, y, ) 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 = n k 1 0 lim → Dxy ( , , ) k k k k x y ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束