第六章第五节函数展开成幂级数两类问题：在收敛域内8求和antn和函数 S(x)幂级数Z展开n=0本节内容：一、泰勒（Taylor）级数函数展开成幂级数二、 Eo0ol0l0x机动自录上页下页返回结束
第五节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六章
一、泰勒（Taylor）级数在收敛域上，幂级数收敛于一个函数(和函数)，即在收敛域上可以用幂级数来表示一个函数；相反，给出一个函数,f(x)，它能否在某一个区间上展开为 x的幂级数？也就是说，当f(x)给定后，是否存在一个Za,(x-xo)" 以f(x)为和函数，即:幂级数n=0(☆)f(x)=a,(x-xo)"n=0两个问题：10什么条件下（☆）式成立2若（☆）式成立，系数ao，a1…,an.…..如何确定oe000x机动目录上页下页返回结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数 0 0 ( )n n n a x x = − 在收敛域上，幂级数收敛于一个函数(和函数), 即在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 收敛域上可以用幂级数来表示一个函数；相反，给 出一个函数 f (x)，它能否在某一个区间上展开为 x 的幂级数？也就是说, 当 f (x)给定后, 是否存在一个 幂级数 以 f (x)为和函数，即： 0 0 ( ) ( )n n n f x a x x = = − （☆） 两个问题：1 0 什么条件下（☆）式成立 2 0 若（☆）式成立，系数a0 , a1 ,., an ,.如何确定
1：问题20的讨论若（☆）式成立，即f(x)可表示为幂级数，则在收敛区间内有 :(n+1)!(n+2)!f(n)(x) =n!a, +(x-x)?+L ;1!2!上式两端令 x=x，则有：az =f"(x)ao = f(x)aj = f'(x)an=f(n)(x)即:f(x) = f(xo) + f'(xo)(x - xo2!(xo+Lx-x)" +Ln!O0000x机动目录上页下页返回结束
1: 问题 2 0 的讨论 1 0 a f x = ( ) 1 2 0 2! a f x = ( ) ( ) 2 1 0 2 0 ( 1)! ( 2)! ( ) ! ( ) ( ) ; 1! 2! n n n n n n f x n a a x x a x x + + + + = + − + − +L 1 ( ) ! 0 ( ) n n n a f x = 即： 0 0 a f x = ( ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若（☆）式成立，即 f (x) 可表示为幂级数，则在收敛 区间内有： 上式两端令 x x = 0 , 则有： ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n + + − + L L f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − f (x) =
2：问题10的讨论若f(x)在xo点的某邻域（xS,x+)内有任意阶导数，那么(☆)式是否成立呢？x±0例如： f(x)=[0x=0f(n)(O)=O, VnENO0000x机动目录上页下页返回结束
2: 问题 1 0 的讨论 若 f (x) 在 x0 点的某邻域 ( , ) x x 0 0 − + 内有任意阶 2 1 0 ( ) 0 0 x e x f x x − = = ( ) (0) 0, n f n N = 导数, 那么(☆) 式是否成立呢？ 例如： 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Def：若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称Xf(xo) + f'(xo)(x -xo) +2!+L +.x-xo)n +Ln!为f(x)的泰勒级数。当 xo=0时,泰勒级数又称为麦克劳林级数3：什么条件下，一个任意阶可导函数可以表示成一个幂级数O0000?机动自录上页下页返回结束
f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − ( ) 0 0 ( ) ( ) ! n n f x x x n + + − + L L 为 f (x) 的泰勒级数 . 当 x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 幂级数 Def : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3: 什么条件下，一个任意阶可导函数可以表示成一个