第五章第四节*欧拉方程欧拉方程11(n-x"y(n) +Pixn-+...pn-ixy'+ pny= f(x).(pk为常数)令x=et,即t=lnx常系数线性微分方程O0000x机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 欧拉方程 欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( 为常数) pk , t 令 x = e 常系数线性微分方程 即t = ln x 第五章
欧拉方程的算子解法：x"g(n) + Pixn-ly(n-1I) + .-Pn-1xy'+ Pny= f(x)令x=e'，则t=lnx,则dy.dydtdy1dydtdxdt dxx dtd?2Q2dtdydldy1yJdx?2d,2dtdxdtx dtXd2dyy2Xdf2dt计算繁！Oeo0x机动目录上页下页返回结束
欧拉方程的算子解法: ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − , t 令 x = e 则 = x y d d x t t y d d d d t y x d 1 d = = 2 2 d d x y x t t y t x d d ) d 1 d ( d d ( ) t y t y x d d d 1 d 2 2 2 = − 计算繁! t y x y d d = t y t y x y d d d d 2 2 2 = − 机动 目录 上页 下页 返回 结束
QAdK记DD(k=2,3,.),则由上述计算可知dtkdtxy'= Dyx?y" = D?y- Dy= D(D-1)yx*y(k) = D(D-1)..(D- k+1) y用归纳法可证于是欧拉方程(n-lx"y(n)+..· pn-1xy'+ pny= f(x)+1x n,*:1转化为常系数线性方程D"y+b,Dn-ly+ ...+bny= f(e')dn-1d" y1即+b..+bny= f(et)d thndtOe00x机动目录上页下页返回结束
, d d t 记 D = 则由上述计算可知: x y = Dy x y = D y − Dy 2 2 ( 2, 3, ), d d = k = t D k k k = D(D −1)y 用归纳法可证 x y D D D k y k k ( 1) ( 1) ( ) = − − + 于是欧拉方程 ( ) 1 1 ( 1) 1 ( ) x y p x y p x y p y f x n n n n n n + + − + = − − ( ) 1 1 t n n n D y + b D y + + b y = f e − 转化为常系数线性方程: ( ) d d d d 1 1 1 t n n n n n b y f e t y b t y + + + = − − 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求方程x2y"=2xy+2y=ln2x-2lnx的通解d则原方程化为解：令x=et,则t=lnx,记DdtD(D -1)y- 2Dy+ 2y =t2 - 2t即(D2 -3D+2)y =t2 -2td? y-3d+2y=?-2t亦即1)dt2dt特征方程r2-3r+2=0,其根 =l,=2则①对应的齐次方程的通解为Y =Cje' +Ce2tO0000?机动自录上页下页返回结束
例1. 解: 则原方程化为 亦即 其根 则①对应的齐次方程的通解为 特征方程 ① 机动 目录 上页 下页 返回 结束
: *=At? +Bt+C设特解：代入①确定系数得.1.12+-t+V二242①的通解为12y= Cet + C十一t十十一242换回原变量，得原方程通解为122y=Cix+C2x2+=ln2x+nx+224Oe000?机动目录上页下页返回结束
① 的通解为 换回原变量, 得原方程通解为 设特解: y = At + Bt +C 2 代入①确定系数, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束