于是∬R(x,y,z) =∬{x,z,(x,Jy川-Rx,y,z(,ydd, 叮-Ka咖 同理 心器-售P海k 器水=f(x.x.u. 2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 6 目录 上页 下页 返回 ,)]},(,[)],(,[{ = ∫∫ 2 − 1 Dxy dxdyyxzyxRyxzyxR R x y z dxdy (,) Σ 于是 ∫∫ .),( ∫∫∫∫∫Ω Σ = ∂ ∂ ∴ dxdyzyxRdv z R ,),( ∫∫∫∫∫Ω Σ = ∂ ∂ dydzzyxPdv x P 同理 ,),( ∫∫∫∫∫Ω Σ = ∂ ∂ dzdxzyxQdv y Q
合并以上三式得： 9+=IP腾女+Qt+a 由两类曲面积分之间的关系知 器等3-華raa+0wB+os Q 高斯公式 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. 2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 7 目录 上页 下页 返回 ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) -高斯公式 合并以上三式得： ( ) ( cos cos cos ) . PQR dv P Q R dS xyz αβγ Ω Σ ∂∂∂ ++ = + + ∂∂∂ ∫∫∫ w∫∫ 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系
需要说明的是，在上述证明中我们假定了闭 区域2是一个特殊的闭区域，即穿过①内部并且 平行于z轴的直线与2的边界曲面∑的交点恰好 为两个如果2不是这样特殊的闭区域，那么可用 几个辅助光滑曲面将它分成若干个上述特殊闭区 域.由于沿辅助曲面两侧的两个曲面积分互为相 反数，相加后可以相互抵消.由此可知，此时高斯 公式仍然成立.证明的方法与格林公式证明类似， 这里不再赘述， 2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 8 目录 上页 下页 返回 需要说明的是 ， 在 上述证明中我们假定了闭 区域 Ω 是一个特殊的闭区域，即穿过 Ω 内部并且 平行于 z 轴的直线与 Ω 的边界曲面 Σ 的 交点恰好 为两个 .如果 Ω 不是这样特殊的闭区域，那么可用 几个辅 助光滑曲面将它 分成若干个上述特殊闭区 域 .由于沿辅助曲面两侧的 两个曲面 积分互为相 反数，相加后可以相互抵消 .由此可知，此时高斯 公式仍然成立 .证明的方法与格林公式证明类似 ， 这里不再赘述