第七章 第，、为 常系数脓齐次线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 第七章
二阶常系数线性非齐次微分方程 y”+py+qy=f(x)（p,9为常数) 其通解 y=Y+y* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 待定系数法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
y + p y + q y = f ( x) ( p, q 为常数) 二阶常系数线性非齐次微分方程 其通解 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.f(x)=e2xPm(x)型 y"+py'+qy=f(x) 入为实数，Pm(x)为m次多项式. 设特解为y*=e2xQ(x),其中Q(x)为待定多项式， y*'=e2x[2Q(x)+Q'(x] y*"=ex[22Q(x)+2元Q'(x)+Q”(x)] 代入原方程整理得 2"(x)+(22+p)Q'(x)+(22+p2+q)Q(x)=Pm(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
e [ Q ( x) x + ( 2 + p ) Q ( x ) ( ) ( ) ] 2 + + p + q Q x e Pm ( x) x = f (x) = e x Pm (x) 型 为实数 , P (x) m 设特解为 y* e Q ( x) , x = 其中 Q ( x) 为待定多项式 , y* e [ Q ( x) Q ( x)] x = + * [ ( ) 2 ( ) ( )] 2 y e Q x Q x Q x x = + + 代入原方程 ,整理得 为 m 次多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. y + p y + q y = f ( x)
2(x)+(2元+p)Q'(x)+(22+p+9)2(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p2+q≠0， 取Q(x)为m次待定系数多项式2m(x), 从而得到特解形式为 y*=e2xQm(x) y"+py'+9y=0 r2+pr+q=0 HIGH EDUCATION PRESS
从而得到特解形式为 y* e Q ( x) . m x = Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (1) 若 不是特征方程的根, 取 0 2 r + pr + q = y p y q y + + = 0
Q"(x)+(22+p)g'(x)2+p±9(x)=Pm(x) (2)若入是特征方程的单根， 即22+p2+q=0, 22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式， y*=ei*Q(x), 故特解形式为y*=xm(x)ex y”+py'+qy=0 r2+pr+q=0 HIGH EDUCATION PRESS ○色O0®8 机动目录上页下页返回结束
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 Q( x) P ( x) ( ) ( ) = m 2 + + p + q Q x 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 2 r + pr + q = y p y q y + + = 0 y* e Q ( x) , x =