第七章 第之为 高阶钱性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
高阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节 第七章
二、二阶线性微分方程 y”+p(x)y+q(x)y=f(x),为二阶线性微分方程 f(x)≡0时，称为齐次方程 f(x)丰0时，称为非齐次方程， 复习：一阶线性方程y'+P(x)y=Q(x) 通解y=CeP+e-rx(x) dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束
为二阶线性微分方程. y + p( x) y + q( x) y = f ( x), 时, 称为非齐次方程 ; f ( x) 0 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 y + P( x) y = Q( x) 通解: − + e Q x e x P x x P x x ( ) d ( ) d ( ) d − = P x x y C e ( ) d 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 y f ( x) 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶线性微分方程
1、函数组的线性相关与线性无关 定义：设y1(x),y2(x),yn(x)是定义在区间1上的 n个函数，若存在不全为0的常数k1,k2,kn,使得 ky1(x)+k2y2(x)++knyn(x)≡0，x∈I 则称这个函数在1上线性相关，否则称为线性无关 例1，cos2x,sin2x,在任何区间1上都线性相关 1-cos2x-sin2x≡0 例1，x,x2,在任何区间1上都线性无关. k1+k2x+k3x2=0,k1,k2,k3必需全为0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定义: ( ) , ( ) , , ( ) 1 2 y x y x y x 设 n 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例 在任何区间 I 上都线性相关; 例 必需全为 0 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、函数组的线性相关与线性无关
两个函数线性相关与线性无关的充要条件 (x),y2(x)线性相关 存在不全为0的k1,k2使 ky1(x)+k2y2(x)≡0 (x)= 常数 '2(x) k (不妨设 k,≠0） 1(x),2(x)线性无关 ( y2(x) 圭常数 HIGH EDUCATION PRESS 页下页返回结束
两个函数线性相关与线性无关的充要条件 线性相关 存在不全为 0 的 使 1 2 2 1 ( ) ( ) k k y x y x − ( 不妨设 0 ) k 1 线性无关 ( ) ( ) 2 1 y x y x 常数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 =常数
2、线性微分方程解的结构 定理1.若函数y(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解则y=Cy1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y+C2y2]+P(x)[C1y+C2y3] +0(x)[C1y1+C2y2] =C1[y”+P(x)y%+Q(x)y1] +C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0证毕 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
( ) [ ] + P x C1 y1 + ( )[ ] + Q x C1 y1 + = 0 证毕 2、线性微分方程解的结构 ( ) , ( ) 1 2 若函数 y x y x 是二阶线性齐次方程 y + P( x) y + Q( x) y = 0 的两个解, 也是该方程的解. 证: ( ) ( ) 1 1 2 2 将 y = C y x + C y x 代入方程左边, 得 [ ] C1 y1 + 2 2 C y 2 2 C y 2 2 C y [ ( ) ( ) ] 1 1 1 1 = C y + P x y + Q x y [ ( ) ( ) ] 2 2 2 2 + C y + P x y + Q x y (叠加原理) ( ) ( ) 1 1 2 2 则 y = C y x + C y x 定理1. 机动 目录 上页 下页 返回 结束