ut ed 第六节函数展开成幂级数 问题的提出 泰勒级数 函数展开成幂级数
第六节 函数展开成幂级数 三 函数展开成幂级数 二 泰勒级数 一 问题的提出
问题的提出 上节例题∑(-1)12=lm(1+x)(-1<x≤1) n 即得形如∫(x)=∑a(x-x0)函数的展开式 n=0 问题是否存在幂级数在其收敛域内以f(x)为和函数? 需要考虑1.如果能展开,an是什么? 2.展开式是否唯一? 3在什么条件下才能展开成幂级数? 上一页下一页现回
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 1.如果能展开, an 是什么? 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 即得形如 函数的展开式. 需要考虑 问题 是否存在幂级数在其收敛域内以 f ( x) 为和函数? 一 问题的提出
泰勒级数 复习前面的两个公式 1. Taylors公式: f(x)=f(x)+f(x0(x-x0)+ n x-xa)+∴ 0(x-xn)”+R(x) n 其中R,(x) f() n+1 n 5在x与x之间 上一页下一页返回
( ) ( ) ! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 ( ) 2 0 0 0 0 0 x x R x n f x x x f x f x f x f x x x n n n − + + − + = + − + 二 泰勒级数 1.Toylor公式： 复习前面的两个公式 ( ) , ( 1)! ( ) ( ) 1 0 ( 1) + + − + = n n n x x n f R x 其中 在 x0 与 x之间
2. Maclaurin公式 f(x)=∫(0)+f(0)x+ f"(0)2,f"(0 x x"+r, (x) 2! 其中 Rn()= f"(5)x",4在与x间 (n+1)! 上一页下一页返
( ) ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 x R x n f x f f x f f x n n n + + = + + 2.Maclaurin公式 , ( 1)! ( ) ( ) 1 ( 1) + + + = n n n x n f R x 其中 在 x0 与 x 之间
函数展开幂级数的必要条件 定理1若f(x)在x处能展开成幂级数 ∑ 0 0 则∫(x)在x∈Ux0,6)内具有任意阶导数且 f(x)(n=0,1,2,… 证明∵∑an(x-x)”在U(xn)内收敛于∫(x =0 f(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x)+ 上一页下一页返回
函数展开幂级数的必要条件. 定理1 若 在 处能展开成幂级数 则 在 内具有任意阶导数,且 f (x) x0 n n an (x x ) 0 0 − = f (x) ( , ) x x0 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 证明 在 内收敛于 ,即 n n an (x x ) 0 0 − = ( ) x0 f (x) f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n +