ut ed 第五节幂级數 幂级数及其收敛性 二幂级数的运算及其性质
第五节 幂 级 数 一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的运算及其性质
幂级数及其收敛性 1定义1形如∑anx“的级数称为幂级数 当x=0时∑anx",其中为幂级数系数 2.收敛性 例如级数∑x"=1+x+x2+…, 当x<1时,收敛;当x≥1时,发散 收敛域(-1,1);发散域(-∞,-1]v[1,+∞) 上一页下一页现回
2.收敛性: 当 x 1 时,收敛；当 x 1 时,发散. 1 , 2 0 = + + + = x x x n n 例如级数 收敛域(−1,1); 发散域(−, −1][1,+). 1.定义1 形如 的级数称为幂级数. n n an x =0 , 0 n n an x = 当 0 时, x0 = 其中 an 为幂级数系数. 一 幂级数及其收敛性
定理1(阿贝尔Abe定理) 如果级数∑ax在x=x1(xn≠00处收敛则 n=0 它在满足不等式xx的一切x处绝对收敛; 如果级数∑anX在x=x处收敛则它在满足不 =0 等式|x|>x一切x处发散 证明(1)∑anx”收敛 lim,xo=0, n→0 =0 上一页下一页返回
定理1 (阿贝尔Abel定理) 如果级数 在 处收敛,则 它在满足不等式 的一切 处绝对收敛； n=0 n an x ( 0) x = x0 x0 | | | | x x0 x 如果级数 在 处收敛,则它在满足不 等式 的一切 处发散. n=0 n an x x = x0 | | | | x x0 x 证明 lim 0, 0 = → n n n a x =0 0 (1) n n an x 收敛
日M,使得n、≤M(n=01,2,) 0 x=an 0 M n 当x<1时,等比级数∑M收敛 =0 0 ∑a灬x"收敛,即级数>anx"收敛 H=0 =0 上一页下一页返回
n n n n n n x x a x a x 0 0 = n n n x x a x 0 0 = n x x M 0 ( 0,1,2, ) a x0 M n = n n M, 使得 1 0 x x n n x x M =0 0 当 时,等比级数 收敛, = n 0 n an x n=0 n 收敛,即级数 an x 收敛
(2)假设当x=x0时发散,而有一点x适合 x1|x0 使级数收敛 由(1)结论,则级数当x=x0时应收敛, 这与所设矛盾 几何意义 收敛区域 发散区域一R0R发散区域 上一页下一页返回
x o • • • − R R 几何意义 收敛区域 发散区域 发散区域 (2) 假设当 x = x0 时发散, 而有一点 x1 适合 | | | | x1 x0 使级数收敛. 由(1)结论,则级数当 x = x0 时应收敛, 这与所设矛盾