ut ed 第七 函数的幂级数展开式的应用 近似汁算 二欧拉公式
第七节 函数的幂级数展开式的应用 二 欧拉公式 一 近似计算
近似计算 十a2+…an+ A≈a1+ 2 十∴+a n 2 误差r= n+1 an+2+ 应用它解决两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数 关键:通过估计余项,确定精度或项数. 上一页下一页返回
, A = a1 + a2 ++ an + , A a1 + a2 ++ an 应用它解决两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关键: 通过估计余项,确定精度或项数. . 误差 r n = an+1 + an+2 + 一 近似计算
常用方法 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和.一 例1计算e的近似值,使其误差不超过105 解∵e=1+x+x2+…+,x"+…, 令x=1,得e≈1+1+1+…+ 上一页下一页返回
常用方法 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成 为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 解 , ! 1 2! 1 1 x = + + 2 ++ x n + n e x x 例1 计算 e 的近似值,使其误差不超过 10 . −5 令 x = 1, , ! 1 2! 1 1 1 n 得 e + + ++
余和: 1 十 十 十 (n+1)!(n+2)! (n+1)!n+2 ≤ 十 十 n n+1(m+1)2× nh 欲使r≤103,只要,≤103, 即nn!≥105,而88=322560>10 e≈1+1+++…+,≈271828 2!3 上一页下一页返回
余和: + + + + ( 2)! 1 ( 1)! 1 n n rn ) 2 1 (1 ( 1)! 1 + + + + = n n ) ( 1) 1 1 1 (1 ( 1)! 1 2 + + + + + + n n n ! 1 n n = 欲使 r n 10−5 , 只要 10 , ! 1 −5 n n 8! 1 3! 1 2! 1 e 1+ 1+ + ++ 2.71828 ! 10 , 5 n n 8 8! 322560 10 , 5 即 而 =
例2利用sinx≈x-计算sin90的近似值,并估 计误差 解 元 元 sin9°=sin 2020620 ≤ <105 5!20 120 (2)51 300000 sin9"≈0.157079-0.000646≈0.156433 其误差不超过10 上一页下一页返回
解 20 sin9 sin 0 = ) , 20 ( 6 1 20 3 − 5 2 ) 20 ( 5! 1 r 5 (0.2) 120 1 300000 1 10 , −5 sin9 0.157079 0.000646 0 − 0.156433 其误差不超过 . 5 10− 例2 利用 计算 的近似值,并估 计误差. 3! sin 3 x x x − 0 sin9