习题四解答 1.下列数列{an}是否收敛?如果收敛,求出它们的极限: 1)a 2)an=1+ 3)an=(-1)+-,;4)an=eml2 解1)o1+m_1-n2,2n i,又lim 1+n2 =0,故a,收敛 lim a=-1 2)an=1+ 2 又lm √5 0,故an收敛, lim a=0 3)由于an的实部{-1}发散,故an发散 4)由于α=e-m/2=cos"z- isin-,其实部、虚部数列均发散,故α发散 5)a.=-e =-cos--1—Sin n,知lim-cOs m-sin- 故a收敛,li 2.证明 lake lim a"= a= 不存在,|a|=1,a≠1 3.判断下列级数的绝对收敛性与收敛性: LIL ( 2) 3)S6+5):4)S cos In In/ p cOS op sIn cos -+Isin-, ∑—2与∑—2-为收敛的交错项实级数 所以∑收敛,但凹=1,故∑ 发散,原级数条件收敛
习题四解答 1．下列数列{ } αn 是否收敛？如果收敛，求出它们的极限： 1） 1 i 1 i n n n α + = − ；2） i 1 ; 2 n αn − ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3） i ( 1) ; 1 n n n α = − + + 4） ；5） n i / 2 n e π α − = 1 n i / 2 n e n π α − = 解 1） 2 2 2 1 i 1 2 i 1 i 1 1 n n n n n n n α + − = = + − + + ，又 2 2 1 2 lim 1,lim 0 n n 1 1 n n →∞ n n →∞ − 2 = − = + + ，故αn 收敛， lim 1 n n α →∞ = − 2） i 2 1 2 5 n n i n e θ α − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ，又 2 lim 0 5 n i n e− θ →∞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ，故αn 收敛，lim 0 n n α →∞ = 3）由于αn 的实部{( 1) } n − 发散，故αn 发散 4）由于 i / 2 cos isin 2 2 n n n n e π π π α − = = − ，其实部、虚部数列均发散，故αn 发散 5） 1 1 i / 2 1 cos i sin 2 2 n n n n e n n n π π π α − = = − ，知 1 1 lim cos 0,lim sin 0 n n 2 2 n n n n π π →∞ →∞ = = ， 故αn 收敛， lim 0 n n α →∞ = 2．证明： 0, | |<1, , | |>1, lim 1, 1, | |=1, 1. n n α α α α α α →∞ ⎧ ⎪ ⎪∞ = ⎨ = ⎪ ⎪ ⎩不存在， ≠ 3．判断下列级数的绝对收敛性与收敛性： 1） 1 i n n n ∞ = ∑ ； 2） 2 i ln n n n ∞ = ∑ ； 3） 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ ； 4） 2 cosi 2n n n ∞ = ∑ 。 解 1）由i cos isin 2 2 n n n π π = + ， 1 cos 2 n n n π ∞ = ∑ 与 1 sin 2 n n n π ∞ = ∑ 为收敛的交错项实级数， 所以 1 i n n n ∞ = ∑ 收敛，但 i 1 n n n = ，故 1 i n n n ∞ = ∑ 发散，原级数条件收敛； 1
2)与1)采用同样的方法,并利用,≥-(n≥2) Inn n 3)因 6+51) (6+5i) 绝对收敛 4)因csin=chm,而lmcm≠0,故∑Sm发散 4.下列说法是否正确?为什么? (1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 (2)每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点: (3)每一个在二连续的函数一定可以在二的邻域内展开成 Taylor级数 解(1)不对。如∑二在收敛圆<1内收敛,但在收敛圆周|=1上并不收敛: (2)不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数,不能有奇点 (3)不对。如f()=在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor级 数 5幂级数∑cn(2-2)能否在=0收敛而在z=3发散? 解不能。因如∑cn(-2)在:=0收敛,则由Abel定理其收敛半径 R≥0-2=2,而B-21=1<2即==3在其收敛圆|-2k2内,故级数∑cn(-2)在 =3收敛,矛盾。 6.求下列幂级数的收敛半径: (1)∑(p为正整数):(2)y(n)2 (3)∑(1+1)”=n n=I n (4) 1) 解(1)R=l/lim limOn=1
2）与 1）采用同样的方法，并利用 1 1 ( 2 ln n n n ≥ ≥ )； 3）因 (6+5i) 61 8 8 n n n ⎛ ⎞ = ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎟ ⎟ ，而 1 61 8 n n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 收敛，故 1 (6+5i) 8 n n n ∞ = ∑ 绝对收敛； 4）因cosin = chn ，而 ch lim 0 2n n n →∞ ≠ ，故 2 cosi 2n n n ∞ = ∑ 发散。 4．下列说法是否正确？为什么？ （1）每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛； （2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点； （3）每一个在 z0 连续的函数一定可以在 z0 的邻域内展开成 Taylor 级数。 解（1）不对。如∑ 在收敛圆 ∞ n=0 n z z < 1内收敛，但在收敛圆周 z = 1上并不收敛； （2）不对。幂级数的和函数在收敛圆内为解析函数，不能有奇点； (3)不对。如 f (z) = z 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成 Taylor 级 数。 5.幂级数 ( 能否在 收敛而在 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − ) z = 0 z = 3发散？ 解 不能。因如 ( ) 在 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − z = 0 收敛，则 由 Abel 定理其收敛 半 径 R ≥ 0 − 2 = 2 ，而 3 − 2 = 1 < 2 即 z = 3 在其收敛圆| z − 2 |< 2 内，故级数 在 收敛，矛盾。 ( ) 0 2 n n n c z ∞ = ∑ − z = 3 6．求下列幂级数的收敛半径： （1） 1 ( ) n p n z p n ∞ = ∑ 为正整数 ； （2） 1 ! n n n n z n ∞ = ∑ （ ）2 ； （3） ； 0 1 )n n n i z ∞ = ∑（＋ （4） 1 i n n n e z ∞ π = ∑ ； （5） 1 i ch ( 1) n n z n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ∑ ； （6） 1 ln i n n z n ∞ = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 。 解 （1） 1/ lim lim 1 n p n n n n R a n →∞ →∞ = = = ； 2
(2)R=1/lim =Im lim -n=0 (3)R=1/lim vla I =liml/|1+i|=1/ (4)R=l/lim va, =l R=1/lim 1/lim alch 1/ lima/cos-=l (6)R=1/lim vla, =lim(In inI=co 7.如果∑cn”的收敛半径为R,证明级数∑(Recn)=”的收敛半径≥R 证明对于圆|=kR内的任意一点z,由已知∑-”绝对收敛即∑cn收敛,又 因Re|sn},从而 Recm=slc,‖=P,故由正项级数的比较判别法∑Recn也 收敛即∑(Rec2)”在=kR内绝对收敛,于是其收敛半径≥R 8.证明:如果lm存在(≠∞),下列三个幂级数有相同的收敛半径 ∑c2":∑ 证明设lim==P,则幂级数∑C2"的收敛半径为/l 幂级数∑=1的收敛半径为R=lm/an1cnn+1)=1/1 n+1 cn/(n+2) 幂级数∑mc;的收敛半径为R=/imn=lmn=1pl n-y an+o(n+1)c 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9.设级数∑cn收敛,而∑|c1发散,证明∑cn="的收敛半径为1
（2） 1 1 1 (1 ) 1/ lim lim lim 0 1 n n n n n n n n a a n R a a n + →∞ →∞ →∞ + + = = = + = ; （3） 1/ lim n lim1/ |1 i | 1/ 2 n n n R a →∞ →∞ = = + = ； （4） 1/ lim n 1 n n R a →∞ = = ； （5） 1 1/ lim n 1/ lim n ch 1/ lim n cos 1 n n n n i R a →∞ →∞ n n →∞ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ = ； （6） 1/ lim lim | ln i | n n n n R a n →∞ →∞ = = = ∞ ; 7．如果 的收敛半径为 R，证明级数 的收敛半径 0 n n n c z ∞ = ∑ ( ) 0 Re n n n c z ∞ = ∑ ≥ R 。 证明 对于圆| z |< R 内的任意一点 z，由已知 绝对收敛即 0 n n n c z ∞ = ∑ 0 n n n c z ∞ = ∑ 收敛，又 因 Re n c ≤ cn ，从而 Re | || | n n n n c z ≤ c z ，故由正项级数的比较判别法 0 Re n n n c z ∞ = ∑ 也 收敛即 ( ) 在 0 Re n n n c z ∞ = ∑ | z |< R 内绝对收敛，于是其收敛半径≥ R 。 8．证明：如果 1 lim n n n c c + →∞ 存在（ ≠ ∞ ），下列三个幂级数有相同的收敛半径 n n ∑c z ； 1 1 cn n z n + + ∑ ； n 1 n nc z − ∑ 。 证明 设 1 lim n n n c c ρ + →∞ = ，则幂级数 的收敛半径为1/ n n ∑c z | ρ | ； 幂级数 1 1 cn n z n + + ∑ 的收敛半径为 1 1 /( 1) 1/ lim lim 1/ | | /( 2) n n n n n n a c n R a c n ρ + →∞ →∞ + + = = = + ； 幂级数 的收敛半径为 n 1 n nc z − ∑ 1 1 1/ lim lim 1/ | | ( 1) n n n n n n a nc R a n c ρ + →∞ →∞ + = = = + ； 故以上三个幂级数有相同的收敛半径。 9．设级数 收敛，而 0 n n c ∞ = ∑ 0 n n c ∞ = ∑ 发散，证明 0 n n n c z ∞ = ∑ 的收敛半径为 1。 3
证明由级数∑cn收敛,知幂级数∑cn"在二=1处收敛,由Abe定理知∑cn 的收敛半径R21:而∑kn发散知∑|cn="|在1=|=1处发散,故∑cn”的收敛半径 R≤1。所以∑cn”的收敛半径为1 10.如果级数∑cn”在它的收敛圆的圆周上一点二处绝对收敛,证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 证明由Abel定理知∑cn"在其收敛圆内绝对收敛,再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点,∑|cn”=∑c-|,知∑cn”绝对收敛,故结论成立 11.把下列各函数展开成z的幂级数,并指出它们的收敛半径。 (1) 1+4 +:)2:(3)c02:(4)$hz (5)chz;(6) 2sin2:(7)e;(8)sm、 解(1)由,1=1-2+2-2+…l=k1,故 1+ (-1) 而收敛半径R=1 (2)因1=1 1+= 2-x3+…+(-1)=+…,|=k1 故 +-) 3)因c:12+4+…故1-2+-+
证明 由级数 0 n n c ∞ = ∑ 收敛，知幂级数 0 n n n c z ∞ = ∑ 在 z =1处收敛，由 Abel 定理知 的收敛半径 0 n n n c z ∞ = ∑ R ≥1；而 0 n n c ∞ = ∑ 发散知 在 0 | | n n n c z ∞ = ∑ | | z =1 处发散，故 0 n n n c z ∞ = ∑ 的收敛半径 R ≤1。所以 的收敛半径为 1。 0 n n n c z ∞ = ∑ 10．如果级数 0 n n n c z ∞ = ∑ 在它的收敛圆的圆周上一点 处绝对收敛，证明它在收敛圆所 围的闭区域上绝对收敛。 0 z 证明 由 Abel 定理知 在其收敛圆内绝对收敛，再证其在圆周上绝对收敛即 可。在圆周上任取一点 0 n n n c z ∞ = ∑ η ， 0 ，知 0 0 | | | n n n n n n c c η ∞ ∞ = = ∑ = ∑ z | 0 n n n c η ∞ = ∑ 绝对收敛，故结论成立。 11．把下列各函数展开成 z 的幂级数，并指出它们的收敛半径。 （1） 3 1 1 + z ；（2） ( )2 2 1 1 + z ；（3）cos z 2 ；（4）sh z ； （5）ch z ；（6） sin 2 ；（7） 2 e z z 1 z z e − ；（8） 1− z 1 sin 解 （1）由 1 ,| | 1 1 1 2 3 = − + − + < + z z z z z " ，故 = − + − +…+ ( ) − +… + n n z z z z z 3 6 9 3 3 1 1 1 1 ，| z |< 1， 而收敛半径 R=1； （2）因 = − + − +…+ ( ) − +… + n n z z z z z 1 1 1 1 2 3 ，| z |< 1， 故 = − + +…+ ( ) − +… + n n z z z z 2 4 2 2 1 1 1 1 ，| z |< 1， 又因 ⎟′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 1 1 z ( ) 2 2 1 2 z z + − = ， ( ) ⎟′ = − + − +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − + 2 4 6 2 2 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 1 z z z z z z ，| z |< 1， 而 R =1； （3）因 , , 2! 4! 6! cos 1 2 4 6 = − + − +… z < ∞ z z z z 故 = − + − +" 2! 4! 6! cos 1 4 8 12 2 z z z z 4
zk<+∞而其收敛半径R=+∞; (4)因shz=e-e 2c=1++57+3+…k+,2x <+∞0 故 shz=z+-++…,|-k+∞,而收敛半径R=+0 (5)chz=1+++…,|k+∞ (6)因c2=1+2+5++,,k+如n=2=2-++…!k+ 故e2snx2=|1+2+++…∥-:5+ +z4+-+…,|-k< 而收敛半径R=+∞ (7)因e=1+二+5++…,|k+∞, ∑=1k1 C∑=)2C= ∑ n+1+-n=0-n=0 +…|=k1, 而收敛半径R=1。 (8)因sin Sin l cos +cos l sin ∑="1=k1 故sn=(+2+2+}1(+2+2+.)+…=+2+5=3+…,1=k1 2-+2 十 故 =sin1==+.+cos 12+=2+ 5 =sin 1+(cos 1)=+ cos1-3sinI 而收敛半径R=1 12.求下列各函数在指定点0处的 Taylor展开式,并指出它们的收敛半径:
| z |< +∞ 而其收敛半径 R = +∞ ； （4）因 ,| | , 2! 3! , 1 2 sh 2 3 = + + + +… < +∞ − = − z z z e z e e z z z z ,| | , 2! 3! 1 2 3 = − + − +… < +∞ − z z z e z z 故 ,| | , 3! 5! sh 3 3 = + + +… z < +∞ z z z z 而收敛半径 R = +∞ ； （5） 2 4 ch 1 ,| | , 2! 4! z z z z = +++… < +∞ （6）因 ,| | , 2! 3! 1 4 6 2 2 = + + + +… z < +∞ z z e z z ,| | , 3! 5! sin 6 10 2 2 = − + +… z < +∞ z z z z 故 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ − + +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + +… 3! 5! . 2! 3! sin 1 6 10 2 4 6 2 2 2 z z z z z e z z z ,| | , 3 6 2 4 = + + +… z < +∞ z z z 而收敛半径 R = +∞; （7）因 2 3 1 ,| 2! 3! z z z e z = + + + +… z |< +∞, 2 3 1 0 ,| | 1, 1 n n z z z z z z z ∞ + = = − − − −…= − < − ∑ 故 1 2 1 3 2 3 1 1 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 2! 3! 2! 3! n n z z n n n n z z z z e z z ∞ ∞ + + ∞ − + = = = = − + − + = − − − + < ∑ ∑ ∑ " ",| z | 1， 而收敛半径 R=1。 （8）因 , 1 cos1sin 1 sin1cos 1 sin 1 1 1 sin z z z z z z z − + − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = + − ,| | 1, 1 0 2 3 1 = + + +…= < − ∑ ∞ = + z z z z z z z n n 故 = ( ) + + +… − ( ) + + +… +… − 3 2 3 2 3 3! 1 1 sin z z z z z z z z = + 2 + 3 +… 6 5 z z z ，| z |< 1， = − ( + + +…) − ( ) + + +… +… − 4 2 3 2 2 3 4! 1 2 1 1 1 cos z z z z z z z z = − 2 − 3 +… 2 1 1 z z ，| z |< 1， 故 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + + + +… ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − − +… − 2 3 2 3 6 5 cos1 2 1 sin1 1 1 1 sin z z z z z z = ( ) cos1 sin1 ,| | 1 6 5 sin1 2 1 sin1 cos1 cos1 2 3 ⎟ + < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + z + − z z " z ， 而收敛半径 R=1。 12．求下列各函数在指定点 z0 处的 Taylor 展开式，并指出它们的收敛半径： 5