第六章参数估计82点估计三、极大似然法例1如果一个射手击中目标的概率可能是84P=3'15'5现在让他打三发子弹，在不同的命中自标的次数下，我们应该如何取p的估计值p？解用X表示命中目标的次数，则X~B(3,P),即P(X = x) =C, p"(1 - p)"-* = P(x; p).计算结果列表如下：
三、 极大似然法 例1 如果一个射手击中目标的概率可能是 . 5 4 , 15 8 , 5 1 p 现在让他打三发子弹，在不同的命中目标的次数 下，我们应该如何取 p 的估计值 p ˆ ? 解 用 X 表示命中目标的次数，则 X ~B(3, p),即 { ) (1 ) ( ; ). 3 P X x C3 p p P x p x x x 计算结果列表如下： 第六章 参数估计 §2 点估计
第六章参数估计82点估计例1 (（续）0123命中次数x2717281296324P(x;-53375337533753375834311761344512P(x;1533753375337533751728271296324P(x; =)33753375337533758因为 P(0;) > P(0;一)> P(0;)551511这表明，P=使得打三发子弹命中为0的概率最大5由实际推断原理知，此时应取p=弓5
命中次数 x 0 1 2 3 ) 5 1 P(x; ) 15 8 P(x; ) 5 4 P(x; 3375 1728 3375 1296 3375 324 3375 27 3375 343 3375 1176 3375 1344 3375 512 3375 27 3375 324 3375 1296 3375 1728 ), 5 4 ) (0; 15 8 ) (0; 5 1 因 为 P(0; P P 这表明， 0 . 5 1 p 使得打三发子弹命中次数 为 的概率最大 由实际推断原理知， . 5 1 此时应取 p ˆ 例1（续） 第六章 参数估计 §2 点估计
第六章参数估计82点估计例1（续）2103命中次数x2717281296324P(x;533753375337533758-534311761344512P(x;337533753375337517281296273244P(x;53375337533753375因此，由上表可得下面的结论：I打三发命中次数x-1时，命中率p的合理估计p-58-54-5打三发命中次数x=2时，命中率p的合理估计p打三发命中次数x=3时，命中率p的合理估计p
命中次数 x 0 1 2 3 ) 5 1 P(x; ) 15 8 P(x; ) 5 4 P(x; 3375 1728 3375 1296 3375 324 3375 27 3375 343 3375 1176 3375 1344 3375 512 3375 27 3375 324 3375 1296 3375 1728 因此，由上表可得下面的结论： 打三发命中次数 x=1 时，命中率 p 的合理估计 ; 5 1 p ˆ 打三发命中次数 x=2 时，命中率 p 的合理估计 ; 15 8 p ˆ 打三发命中次数 x=3 时，命中率 p 的合理估计 . 5 4 p ˆ 例1（续） 第六章 参数估计 §2 点估计
第六章参数估计S2点估计1)若总体X属离散型，其分布律PX = x) = p(x;0),0 e0的形式为已知，θ为待估参数，④是θ可能取值的范围设X，.,X,是来自X的样本又设x,,x,是X,,.,X,的一个样本值，事件{X,=xi，.,X,=x,发生的概率为L(0) = L(x1,...,xn;0) - IIp(x,;0), 0 e0.i=1它是θ的函数.L()称为样本的似然函数
1) 若总体X属离散型，其分布律 P{X x} p(x; ), 的形式为已知， 为待估参数，是 可能取值的范围. , , , 设X1 Xn是来自X的样本 , , , , , 又设x1 xn是X1 Xn的一个样本值 第六章 参数估计 §2 点估计 ( ) ( , , ; ) L L x1 xn 它是 的函数. L( )称为样本的似然函数. 事件{X1 x1 , , Xn xn }发生的概率为： ( ; ), . 1 n i p xi
第六章参数估计S2点估计极大似然法原理：固定xi,,x,,挑选使概率L(xi,,x,;O)达到最大的参数，作为的估计值，即取使得：L(x,...,x,;0) = max L(x.,..,x,;0)EO与x,…,x,有关，记为(x,,x);称其为参数θ的极大似然估计值(X,…,X,)称为参数θ的极大似然估计量这种求未知参数θ的方法称为极大似然法
的参数 ，作为 的估计值，即取 使得： 固 定 挑选使概率 达到最大 ˆ ˆ , , , ( , , ; ) x1 xn L x1 xn 极大似然法原理：) max ( , , ; ) ˆ ( , , ; 1 1 n n L x x L x x ( , , ); ˆ , , ˆ 1 n 1 n 与 x x 有关，记为 x x 称其为参数 的极大似然估计值. 第六章 参数估计 §2 点估计 ( , , ) . ˆ X1 Xn 称为参数 的极大似然估计量 这种求未知参数 的方法称为极大似然法．