《概率论与数理统计》课程授课教案（课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征（2/4）

上一节课内容复习1）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望（下面三组公式是本章最重要的基础公式EX-ZEX = [xf(x)dxXkPki=1设Y=g(X),g(x）是连续函数8g(x)pk; EY =J g(x)f(x)dx则 EY=8k-1若 Z = g(X,Y)Zg(x,y,)py; Ez -则 EZ =g(x, y) f(x, y)dxd)i,j=1-8-8

上一节课内容复习 1）熟练掌握期望定义,会求随机变量函数的数学期望. （下面三组公式是本章最重要的基础公式）     i 1 k k EX x p    EX  xf ( x)dx 设 Y =g( X ), g( x ) 是连续函数，    ( ) ; EY  g( x) f ( x)dx 1     k k k 则 EY g x p 若 Z  g( X ,Y ) ( , ) ; , 1     i j i j i j 则 EZ g x y p       EZ  g( x, y) f ( x, y)dxdy

2）掌握数学期望的性质,会用性质求期望1)Ec=cc是常数若a≤X≤b,则 a≤EX<b.2) E (aX +b) = aEX + b3) E (aX + bY)= aEX + bEYE(Za,X,)-Za,EX,i=1i14)若X,Y独立，则 EXY=EXEY（反之不然）

2）掌握数学期望的性质,会用性质求期望      n i n i E ai Xi ai EXi 1 1 ( ) 若 a  X  b， 则 a  EX  b. 1) E c  c c是常数. 2) E (aX  b)  aEX  b 3) E (aX  bY )  aEX  bEY 4) 若 X,Y 独立，则 EXY  EXEY （反之不然）

第四章随机变量的数特征S2方差·方差的定义·方差的性质·切比雪夫不等式

§2 方差 第四章 随机变量的数字特征 •方差的定义 •方差的性质 •切比雪夫不等式

第四章随机变量的数字特征82方差一、方差的定义在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度可用EIX-EXI，但不方便；所以通常用E(X一EX)来度量随机变量X的取值与其均值EX的偏离程度1) 定义设X是随机变量，若E(XEX)存在，称其为随机变量X的方差(Variance），记作DX,或Var（X），即：DX = Var(X) = E(X - EX)/DX称为标准差离散型:DX =E(X-EX)=Z(x-EX)·Pkk=1连续型： DX=「(x-EX)"f(x)dx

一、方差的定义 第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度， 可用E|X-EX|，但不方便；所以通常用 2 DX Var(X)  E(X  EX ) DX 称为标准差. 设 X 是随机变量，若 存在， 2 E(X  EX )       1 2 ( ) k xk EX pk    DX  (x  EX) f (x)dx 2 2 DX  E(X  EX ) 2 E(X  EX ) 来度量随机变量X的取值与其均值EX的偏离程度. 称其为随机 1) 定义 离散型： 连续型： 变量 X 的方差(Variance) ，记作 DX, 或 Var ( X ) ， 即：

第四章随机变量的数字特征82方差DX = EX2 -(EX)2）方差公式证明DX = E(X - EX)2= E(X? - 2(EX)X +(EX))= EX2 - 2(EX)EX +(EX)= EX?- 2(EX) +(EX)= EX?-(EX)EX? = DX +(EX)由此式还可得D

第四章 随机变量的数字特征 §2 方差 2) 方差公式 证明 由此式还可得 2 DX  E(X  EX ) ( 2( ) ( ) ) 2 2  E X  EX X  EX 2 2  EX  2(EX )EX  (EX ) 2 2 2  EX  2(EX )  (EX ) 2 2  EX  (EX ) 2 2 EX  DX  (EX ) 2 2 DX  EX  (EX )