周期为2π的函数的 Fourier展开 以下总是假设f(x)在[π上 Riemann可积或在反常积分意义下 绝对可积(为方便起见,以下都简称为“可积或绝对可积”),然后按 ∫(x)在[π,π)上的值周期延拓到(-∞+∞),换句话说,f(x)是定义在整 个实数范围上的以2π为周期的周期函数
周期为2π的函数的 Fourier 展开 以下总是假设 f x( )在[−π, π]上 Riemann 可积或在反常积分意义下 绝对可积（为方便起见，以下都简称为“可积或绝对可积”），然后按 xf )( 在[−π, π)上的值周期延拓到 −∞ + ∞),( ，换句话说，f x( )是定义在整 个实数范围上的以2π为周期的周期函数
Fourier展开的基础是三角函数的正交性。 在例7.3.17中证明了函数族 d, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, . Sin nx, cos nx, . 是长度为2的区间上的正交函数列: cos mx cos nxdx = sin mxsin nxdx=πδnn,m,n∈N, cos mx· sin ndx=0 m=0,2,…,n∈N+, 1· cos mxdx=2π·δ m=0,1,2,…
Fourier 展开的基础是三角函数的正交性。 在例 7.3.17 中证明了函数族 " nxnxxxxx "},cos,sin,,2cos,2sin,cos,sin,1{ 是长度为2π的区间上的正交函数列： π π cos cos d mx nx x ∫− π π sin sin d mx nx x − = ∫ , π m n = ⋅δ ， + ,nm ∈ N , π π cos sin d 0 mx nx x − ⋅ = ∫ ， m = ,2,1,0 "， + n ∈ N , π π 1 cos d mx x − ⋅ = ∫ ,0 2π m ⋅δ ， m = ,2,1,0
先假定f(x)可以表示成如下形式的级数 ∑ (a. cos nx+b, sin nx), 也就是说假定等式右边的三角级数收敛于f(x),那么该如何来确定三 角级数中的系数an和b
先假定 ．． f x( )可以表示成如下形式的级数 f x( ) = a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 也就是说假定 ．． 等式右边的三角级数收敛于 xf )( ，那么该如何来确定三 角级数中的系数an和bn
先假定f(x)可以表示成如下形式的级数 ∑ (a. cos nx+b, sin nx), 也就是说假定等式右边的三角级数收敛于f(x),那么该如何来确定三 角级数中的系数an和b。 为了回答这一问题,将等式两边同乘以 cos mx(m=012…),然 后对等式两边在[-兀,x上积分,假定等式右边的三角级数可以逐项积 分,并利用上述三角函数的正交性, f(x)cos mdx 2 cos mdx+ an cos nx cos mxdx+ ∑bJ, sin nx cos mxdx aD0+∑ aas=an兀
为了回答这一问题，将等式两边同乘以cos mx （ m = ,2,1,0 "）， 然 后对等式两边在[− π, π]上积分，假定 ．． 等式右边的三角级数可以逐项 积 分，并利用上述三角函数的正交性， π π f ( )cos d x mx x − = ∫ π 0 π 1 ( cos sin ) cos d 2 n n n a a nx b nx mx x ∞ − = ⎡ ⎤ + +⋅ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ ππ π 0 ππ π 1 1 cos d cos cos d sin cos d 2 n n n n a mx x a nx mx x b nx mx x ∞ ∞ −− − = = =+ + ∫∫ ∫ ∑ ∑ 0 ,0 , 1 π π m nm n n a a δ δ ∞ = = + ∑ π m = a ， 先假定 ．． f x( )可以表示成如下形式的级数 f x( ) = a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 也就是说假定 ．． 等式右边的三角级数收敛于 xf )( ，那么该如何来确定三 角级数中的系数 a n 和 bn