第一节 第四章 不定积分的橇念与性质 一、 原函数与不定积分的概念 二 、 基本积分表 三、不定积分的性质
二、 基本积分表 三、不定积分的性质 一、 原函数与不定积分的概念 第一节 不定积分的概念与性质 第四章
一、 原函数与不定积分的概念 定义1，若在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x) 满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称F(w为fx 在区间1上的一个原函数 例 (sinx)'=cosx sinx是cosx的一个原函数 a或- (x>0) lnx是二在区间(0，+o)内的一个原函数 X l1n(-x)是二在区间(-o,0)内的一个原函数
一、 原函数与不定积分的概念 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F (x) 为f (x) 例 (sin ) cos x x = ( ) 1 ln ( 0) x x = x sin cos . x x 是 的一个原函数 1 ln (0, ) . x是 在区间 + 内的一个原函数 x 1 ln( ) ( ,0) . x x − − 是 在区间 内的一个原函数
问题： 1.在什么条件下，一个函数的原函数存在？ 2.若原函数存在，它如何表示？ 定理1.若函数f(x)在区间I上连续，则f(x)在I上 存在原函数 简单地说：连续函数一定有原函数。 定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 简单地说: 连续函数一定有原函数。 定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内
定理2.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有 原函数都在函数族F(x)+C(C为任意常数)内 证：1)(F(x)+C)'=F'(x)=f(x) .F(x)+C是f(x)的原函数 2)设①(x)是f(x)的任一原函数，即 Φ'(x)=f(x) 又知 F'(x)=f(x) [Φ(x)-F(x)]'=Φ'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 故 Φ(x)=F(x)+C。(C,为某个常数) 它属于函数族F(x)+C
定理 2. 原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 . 证: 1) 又知 [ ( x ) − F ( x )] = ( x ) − F ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 故 0 ( x ) = F ( x ) + C ( ) C 0 为某个常数 它属于函数族 F ( x ) + C . 即
定义2.f(x)在区间1上的原函数全体称为f(x)在1 上的不定积分，记作f(x)dx,其中 ∫一 积分号； f(x)一被积函数； (P185 积分变量；f(x)dx一被积表达式 若F'(x)=f(x),则 ∫f(x)dr=F(x)+C(C为任意常数) 例如， [e*dx=e*+C C称为积分常数， [x2dx=x3+C 不可丢！ sin xdx=-cos x+C
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 积分变量; — 被积表达式. (P185) 若 则 ( C 为任意常数 ) C 称为积分常数, 不可丢 ! 例如, = x x e d C x e + = x dx 2 x + C 3 3 1 = sin xdx − c o s x + C 记作