第、节 第七章 常系数非齐次线性微分方程 一、f(x)口ex P(x)型 二、f(x)□eOx[P(x)cosx 口Pn(x)sin口x]型
常系数非齐次线性微分方程 第八节 一、 二、 第七章
二阶常系数线性非齐次微分方程 y四oyqy f(x)(p,q为常数) ① 根据解的结构定理，其通解为 y OYOy* 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数
二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法
一、f(x)exp((x)型 口为实数Pm(x)为m次多项式 设特解为y*☐exQ(x),其中Q(x)为待定多项式， y*DeL口2(xy)] y*ne[子Q(x)·2口O0x)0Qy] 代入原方程，得 QCx)□(2口口p)24x)□(G口p0口q)2(x)口Pm(x) (1)若口不是特征方程的根即口口p口口q口0，则取 Qx)为m次待定系数多项式Qm(x),从而得到特解 形式为y*□er2m(x)
一、 为实数 设特解为, 其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 不是特征方程的根 , 则取 从而得到特解 形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式
Qx)(2口回D20x)G口p口口g2(x)口Pm(x) (2)若口是特征方程的单根即 d0p口□qa0, 200p00 则Qm)为m次多项式，故特解形式为y*口xQm(x)e (3)若口是特征方程的重根即 Op00q00, 20□p☐0， 则Ox) 是m次多项式，故特解形式为y*口xQ,m(x)ex 小结 对方程①，当口是特征方程的k重根 可设 特解 y*l2n(we(k0.12) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程·
(2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式, 故特解形式为 小结 对方程①, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解
例1.求方程y□2y☐3y口3x☐1的一个特解 解：本题口口0，而特征方程为r2☐2r口3☐0， 口口0不是特征方程的根 设所求特解为y*口box□b,代入方程 □3bx☐3b口2b口3x☐1 比较系数，得 口3b口3 D2b☐361□1 ,口，4明 于是所求特解为)y口x吲
例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为 代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为