第四节 第七章 一阶线性微分方程 一、一线性微分方程 *二、伯努利方程
一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： dy P(x)y口2(x) 若Qx)口0，称为齐次方程， 若Q(x)巾 称为非齐次方程 0 1.解齐次方程 dy 口P(x)y□0 dy 分离变量 口P(x)dx y 两边积分得 lny口□(xdx回lnC 故通解为 y☐e(x)dx
一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ;
2.解非齐次方程 dy P(y (x) dx 用常数变易法作变换(x)☐(x)e吧)d,则 ue吧(odP9 xP(x)☑网dxaO(x)） du 即 日Qx)ex)dx dx 两端积分得 u口9x)e)dxdx EC 故原方程的通解y☐e(xdx @(x)d C目 即 yLCe☑(x)dx ☐eU(x)dx (x)x 齐次方程通解 非齐次方程特解
对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得
5 例1.解方程 口(x1) dxx▣l 解：先解 dy2 00,即 dy2dx dxx□l x☐1 积分得lny口2lnx☐l□lnC,即yC(xD1) 用常数变易法求特解令y口u(x)(x口1)，则 y①u☑xO1)2☐2u☑xO1) 代入非齐次方程得 C☐(x☐1)2 解得 故原方程通解为ya胃
例1. 解方程 解: 先解 即 积分得 即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为 令
注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如，解方程 dx xy 法1.取y作自变量 dx 0x口y 线性方程 d 法2.作变换u Ux Uy,则y凵ux, 1 dxdx 代入原方程得 u du 可分离变量方程 dx u
注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例如, 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程