第三节泰勒公式 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节 一、泰勒公式的建立 三、泰勒公式的应用 泰勒公式
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 f(x)≈f(x)+f'(x(x-x) y=f(x) P(x) P(x -x)的一次多项式 特点乃(xo)=f(xo） Xo x 以直代曲 Pi(xo)=f(xo) 如何提高精度？ 需要解决的问题 如何估计误差？
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f ( x) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? x (x-x0 )的一次多项式 x y y = f ( x) O
一、泰勒公式的建立 在微分应用中已知近似公式 f(x)≈f(x)+∫'(x(x-x） y=f(x) Pi(x) P(x) (x-x)的一次多项式 特点：卫(xo)=f(xo) Xo x p(xo)=f(xo) 以直代曲 找一个关于(x-x,)的n次多项式使得 f(x)≈a+a1(x-x)+a(x-x+.+an(x-x) B,(x)
特点: ( ) 0 = f x ( ) 0 = f x 一、泰勒公式的建立 f ( x) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x + f x x − x 以直代曲 0 x ( ) 1 p x 在微分应用中已知近似公式 : x (x-x0 )的一次多项式 x y y = f ( x) O 找一个关于 的n次多项式,使得: f ( x) 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n + − + − + + − a a x x a x x a x x
1.求n次近似多顶式pn(x),要求： Pn(xo)=f(xo)h(xo)=f"(xo), (xo)=f(xo) Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)广+.+amn(x-xo) 则 ph(x)= 4+2a2(x-x0)+.+nan(x-x0)m- ph(x)= 2!a2+.+n(n-1)an(x-x0)-2 p"(x)= nlan ao=Pn(xo)=f(xo), a pn(xo)=f'(xo), 2=P(x)=f"(xo).,an=aP(xg)=f(x》 故Pta,对t(%xxx件. +了(p对0
f ( x) 2 0 1 0 2 0 0 ( ) ( ) ( ) n n + − + − + + − a a x x a x x a x x 1. 求 n 次近似多项式 要求: ( ) 2! 0 1 2 a p x n = ( ), 0 = f x , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 2! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2! 1 pn (x) = 则 pn (x) = pn (x) = n p (n) (x) = n!a n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n = ( ), 0 = f x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n n a x x 2 2 !a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n n n a x x a0 n n a ( x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 + + −
泰勒(Taylor)中值定理： 若f(x)在包含x的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 f)=j0)+,0x-)+'2x-w2+ 21 (x-x)"+R(x) ① n! 其中Rn(x)= +(5 (n+1)1 (x-x)m(5在x与x之间)② 公式①称为f(x的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒(Taylor)中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2 ! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在 x 与 x 之 间 泰勒