第七节 第七章 常系数齐次线性微劣方程 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根
常系数 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章
二阶常系数齐次线性微分方程， yDpy四qy口0(P,q为常数) ① 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子， 所以令①的解为y口ex(r为待定常数)，代入①得 (r2□pr□q)ex☐0 >r2pr0q□0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 1.当p2☐4q口0时，②有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：口ex,y2口e5, 因此方程的通解为y·C]e*C2ex
二阶常系数齐次线性微分方程: 和它的导数只差常数因子, 代入①得 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根
2.当p2口4g☐0时，特征方程有两个相等实根1口 口号，则微分方程有一个特解力口e 设另一特解y口yu(x)☐ehxu(x)(u(x)待定) 代入方程得 d[(u四2r☐2u)0p(u☐ru)0qw血0 u(2n0p)uD(1Dpn·q)u口0 注意是特征方程的重根 u▣0 取u=x,则得y2口xeix,因此原方程的通解为 y■(C1■C2x)eix
特征方程 2. 当 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: 是特征方程的重根 取 u = x , 则得 因此原方程的通解为
麦克劳林级数： 欧拉公式
麦克劳林级数: 欧拉公式
3.当p口4q☐0时，特征方程有一对共轭复根 h00□i0,500Oi回 这时原方程有两个复数解： h☐eaua)x☐ex(cos口isin口x） y2 ee(cos i sin) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解： yd2y☐y2)☐ecos口x 2D20y10y2)口e0xsin0x 因此原方程的通解为 y☐ex(C1cos0x0C3sn☐x)
特征方程 3. 当 时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: 因此原方程的通解为