第二为 第五章 微积分的基本公式 一、 引例 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式
二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、引例 第二节 微积分的基本公式 第五章
一、引例 在变速直线运动中，已知位置函数s(t)与速度函数v(t) 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[T,T,]内经过的路程为 0d1=s2)-s) 这里s(t)是v(t)的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( ) d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = − 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性
二、积分上限的函数及其导数 设函数f(x)在区间a,b1上连续， 并且设x为a,b]上的一点。下面考察 f(x)在部分区间a,x上的定积分 f(x)dr=∫fu)dx-f0d(a≤x≤b 显然这个定积分是存在的。另外，这里不同位置的x 表示不同的含义。为了明确起见，可以把积分变量 改用其他符号。 如果上限x∈[a,b]任意变动，那么每定一个x值，定积分 都唯一确定一个值，所以它在[α，b上定义一个函数
x 二、积分上限的函数及其导数 y = f (x) a b x y O
二、积分上限的函数及其导数 定理1.若f(x)∈C[a,b],则变上限函数 ()=∫fudi 在[a,b]上可导，并且它的导数 Φ(x)= &/ma-a b x 证：Vx,x+h∈[a,b],则有 x+h (x+)-=】 d-dr =Jf0)d1=f5)(x<5<x+) .f(x)∈C[a,b] ,.Φ'(x)=lim D(x+h)-Φ(x) lim f()=f(x) h-→0 h0
(x) x x + h 二、积分上限的函数及其导数 则变上限函数 = x a (x) f (t) d t 证: x , x + h [a , b] , 则有 h (x + h) − (x) h 1 = − + x a x h a f (t) d t f (t) d t + = x h x f t t h ( ) d 1 = f ( ) ( x x + h) h x h x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim ( ) 0 f h→ (x) = = f (x) 定理1. 若 y = f (x) a b x y O d ( ) ( ) d ( ). d x a x f t t f x x = =
说明： 1)定理1证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)其他变限积分求导 gfedi=flor]o' d r(x) &g3reod-&[Infod+gf0d] f[o(x)]o'(x)-f[w(x)]w'(x)
说明: 1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导: ( ) ( ) d d d x a f t t x = f [ ( x)]( x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 . ( ) ( ) ( ) d d d x x f t t x = f [ ( x) ]( x) − f [ ( x) ] ( x) + = ( ) ( ) ( ) d ( ) d d d x a a x f t t f t t x