第之节 第七章 高阶线性微分方程 一、线性微分方程 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法
高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、线性微分方程 第七章
一、 线性微分方程 (二阶线性微分方程) n阶线性微分方程的一般形式为 ym☐a,()yma）dD☐ana(x)yDan()y□f(x 「f(x)0时，称为非齐次方程： f(x)口0时，称为齐次方程 复习：一阶线性方程y四P(x)y口Q(x) 通解：y☐Ce(xr)dx口eU(xdx Q(x)e()dx 齐次方程通解Y 非齐次方程特解y
n 阶线性微分方程的一般形式为 (二阶线性微分方程) 时, 称为非齐次方程 ; 时, 称为齐次方程. 复习: 一阶线性方程 通解: 齐次方程通解Y 非齐次方程特解 一、线性微分方程
二、线性齐次方程解的结构 定理1.若函数(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 yDP(x)yDO(x)y口0 的两个解，则y☐Ch(x)口C22(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.叠加原理 证：将y□CM(x)□C2y2(x)代入方程左边，得 [CC2y]P(x)[CyC2 ☐Q(x)[CM☐C2y2] □C[yTP(x)yDQ(x)M] ☐C2[yDP(x)y☐Q(x)y2】口0 证毕
证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证: 代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1
说明： y口C(x)口C2y2(x)不一定是所给二阶方程的通解 例如，y(x)是某二阶齐次方程的解，则 2(x)☐2(x)也是齐次方程的解 但是 C1M(x)☐C2y2(x)☐(C1☐2C2)M(x) 并不是通解 为解决通解的判别问题，下面引入函数的线性相关与 线性无关概念
说明: 不一定是所给二阶方程的通解. 例如, 是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为解决通解的判别问题, 下面引入函数的线性相关与 线性无关概念
定义：设(x),y2(x),口，yn(x)是定义在区间I上的 n个函数，若存在不全为0的常数k,k2,口，kn,使得 kM(x)☐k2y2(x)☐□knyn(x)☐0，x☐I 则称这个函数在I上线性相关，否则称为线性无关， 例如，1，cosx,sinx,在（口口，口口）上都 1☐cos2x☐sx口0 故它们在任何区间I上都线性相关， 又如，1，x,x2,若在某区间1上k1□k2x□k3x2□0 则根据二次多项式至多只有两个零点，可见k,k2,k3 必需全为0，故1，x,x2在任何区间I上都线性无关
定义: 是定义在区间 I 上的 n 个函数, 使得 则称这 n个函数在 I 上线性相关, 否则称为线性无关. 例如， 在( , )上都 有 故它们在任何区间 I 上都线性相关; 又如， 若在某区间 I 上 则根据二次多项式至多只有两个零点 , 必需全为 0 , 可见 在任何区间 I 上都 线性无关. 若存在不全为 0 的常数