续；币岁a￡2时，lim。f(x,y)不存在，此时f (x,y)®(0,0) 在原点向断 必全增量与偏增量 P(xo2 yo)P(x,y)I D,Dx=x-xo,Dy=y-o 称 Dz=Df(xo2 Yo)=f(x,y)-f(xo,yo) f(xo+Dx,yo+Dy)-f(xo2 yo) 为函数f在点P的全增量.和一元函数一样，可用增 量形式来描述连续性，即当
前页 后页 返回 续; 而当 不存在，此时 在原点间断． ※ 全增量与偏增量 设 量形式来描述连续性, 即当 为函数 f 在点 的全增量. 和一元函数一样, 可用增
lim D=0 (Dx,Dy)®(0,0) (x,y)I D 时，f在点P连续 如果在全量中取Dx=0或Dy=0,则相应得到的 增量称为偏增量，分别记作 Dx f(xo2 Yo)=f(xo+Dx,Yo)-f(xo2 Yo), D.f(xo2 o)=f(xo,yo+Dy)-f(xo2 o). 一般说来，函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和
前页 后页 返回 时, f 在点 连续. 如果在全增量中取 则相应得到的 增量称为偏增量, 分别记作 一般说来, 函数的全增量并不等于相应的两个偏增 量之和
若一个偏馆量的极限为零，如lim D.f(xo,y)=0, Dx®0 则表示省固定y=y时，f(K,y)作为x的函散，它 在x连续.同理，若1imD,f(x,y)=0,侧表示当 固定x=x时，f(x,y)在连续. 容易证明：当∫在其定义域的内点(x,y)连续时， f(K,y)在X与f(x,y)在都连续.但是反过来， 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性（除非另外增加条件）.例如二元函数
前页 后页 返回 若一个偏增量的极限为零, 如 则表示当固定 时, 作为 x 的函数, 它 在x0 连续. 同理, 则表示当 容易证明: 当 f 在其定义域的内点 连续时, 在 x0 与 在 y0 都连续. 但是反过来, 由二元函数对单个自变量都连续，一般不能保证该 函数的连续性 (除非另外增加条件). 例如二元函数 固定 时， 在 y0 连续
1,xy10, f(x,y)=i 0,xy=0 在原点处显然不连续，但由于f(0,y)=fx,0)=0, 因此它在原点处对x和对y分别都连续 例2设在区域DiR2上f(x,y)分别对x和对y都 连续.弑证在下列条件之一满足时，f(x,y)在D上 处处连续： (①对其中一个变量（倒细y)满足李普希茨条件，即 $L>0,使得对任何(x,y),(x,y2)iD,恒有 前
前页 后页 返回 在原点处显然不连续, 但由于 f (0, y) = f (x, 0) = 0, 因此它在原点处对 x 和对 y 分别都连续. 例2 设在区域 连续．试证在下列条件之一满足时， 处处连续： (i) 对其中一个变量 (例如 y) 满足李普希茨条件, 即 使得对任何