定理2(极值第二判别法）设函数f(x）在点xo处具有二阶导数，且f'（xo）=0,f"（xo）±0(1)若f"(xo）<0,则f(x)在点xo取极大值：(2)若f"(xo）>0,则f(x）在点xo取极小值f'(x)f'(x)-f'(xo)= lim证:(1) f"(xo)= limX→XOx-Xox→oX-Xof'(x)由f"(xo)<0知,存在>0,当0<|x-xol<时<0x-Xo故当 xo-<x<xo时,f(x)>0;十当xo<x<xo +S时,f'(x)<0,Xo Xo X+o由第一判别法知f(x)在xo取极大值类似可证(2) 目录上页下页返回结束机动
定理2 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . + 证: (1) ( ) 0 f x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x − = → ( ) 0 , 由 f x0 知 存在 0 , 0 , 当 x − x0 时 故 当 x0 − x x0 时 ，f ( x) 0; 当x0 x x0 + 时 ，f ( x) 0 , x0 0 x0 x+ + 由第一判别法知 ( ) . f x 在 x0 取极大值 (2) 类似可证
例2.求函数f(x）=（x2-1）3+1的极值解：1）求导数f'(x) = 6x(x2 -1)2, -f"(x) = 6(x2 -1)(5x2 - 1)2)求驻点令f(x)=0，得驻点x=-1,X2=0,X=13)判别因f"(0)=6>0，故f(0)=0为极小值：又f"(-1)= f"(1)=0,故需用第一判别法判别由于f(x）在x=±1左右邻域内不变号.f(x）在x=±1没有极值目录上页下页返回结束机动
例2. 求函数 的极值 . 解: 1) 求导数 ( ) 6 ( 1) , 2 2 f x = x x − ( ) 6 ( 1) (5 1) 2 2 f x = x − x − 2) 求驻点 令 f ( x) = 0 , 得驻点 1, 0 , 1 x1 = − x2 = x3 = 3) 判别 因 f (0) = 6 0 , 故 为极小值 ; 又 f (−1) = f (1) = 0 , 故需用第一判别法判别. 1x y −1
定理3（判别法的推广）若函数f(x)在xo点有直到n阶导数,且 f(xo)= f"(xo)=...= f(n-l)(xo)= 0, f(")(xo)+ 0,则：1)当n为偶数时，x.为极值点，且(n)(xo)>0时,xo是极小点;(n)(xo)<0时，xo是极大点2）当n为奇数时，x.不是极值点证：利用f（x）在x点的泰勒公式，可得X0f(x)- f(xo)= (x-xo)"+o((x-xo)")n!当x充分接近xo时，上式左端正负号由右端第一项确定故结论正确目录上页下页返回结束机动
定理3 (判别法的推广) ( ) 0 , 0 ( ) f x n 则: 数 , 且 1) 当 n 为偶数时, 是极小点 ; 是极大点 . 2) 当 n 为奇数时, 为极值点 , 且 不是极值点 . f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 ) ( x − x0 ) + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) − (( ) ) 0 n + o x − x + 当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 , 故结论正确 . 证: 利用 在 点的泰勒公式 , 可得