晋中学院：《高等数学》课程教学案例汇编

-→+()(6*+(*+(6)(=S++[-(6] So+.对周长和面积分别求极限得lim l, = limxl。= +00,>00>008._8Bi550=20->01→009上面结果表明，随着n的增加，Koch曲线的长度趋于无穷大，而其围成的几何图形的面积却趋于定值。即在有限的区域内，曲线的长度可以无限长。1975年，法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）出版了《分形：形状、机遇与维数》一书，在书中曼德尔布罗特解决了著名的“英国的海岸线有多长”的问题。曼德尔布罗特指出，海岸线的长度取决于用于测量的尺子的长度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些弯曲就无法测量会被忽略：而改用米来做测量单位，从几厘米到几十厘米的弯曲也会被忽略，但是海岸线的总长度会增加。海岸线的长度问题正如koch雪花，如果拿单位长度的尺子去测量koch雪花长度有限，但是如果用于测量的尺子的长度足够短，则koch曲线的长度会足够长。《分形：形状、机遇与维数》一书的出版标志着一个新的数学分支“分形几何学”的诞生。分形几何学是真正描述大自然的几何学，基本思想是：客观事物具有局部与整体以某种形式相似的层次结构，称为自相似性。这种自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。例如，从空中观察海岸线与人站在海边观察海岸线具有相似的曲线形状。分形几何学从诞生到现在，已成为当今世界十分风摩和活跃的新理论、新学科，在自然界、物理、化学、生物和地理等学科领域中得到了广泛的应用。8

8 2 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 4 4 4 3 9 3 9 3 9 3 4 4 4 1 3 9 9 9 3 4 1 5 9 n n n s s s s s s s s s                                                                        对周长和面积分别求极限得 0 4 lim lim , 3 n n n n l l             0 0 0 3 4 8 8 3 lim lim 1 5 9 5 20 n n n n s s s s                            上面结果表明，随着n的增加， Koch 曲线的长度趋于无穷大，而其围成的几 何图形的面积却趋于定值。即在有限的区域内，曲线的长度可以无限长。 1975 年，法国数学家曼德尔布罗特 (B.B.Mandelbrot)出版了《分形：形状、 机遇与维数》一书，在书中曼德尔布罗特解决了著名的“英国的海岸线有多 长”的问题。曼德尔布罗特指出，海岸线的长度取决于用于测量的尺子的 长度。如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些弯曲就无法测量会 被忽 略；而改用米来做测量单位，从几厘米到几十厘米的弯曲也会 被 忽略，但是海岸线的总长度会增加。海岸线的长度问题正如 koch雪花，如 果拿单位长度的尺子去测量 koch 雪花长度有限， 但是如果用于测量的尺 子的长度足够短，则 koch 曲线的长度会足够长。《分形：形状、机遇与维数》 一书的出版标志着一个新的数学分支“分形几何学”的诞生。 分形几何学是真正描述大自然的几何学，基本思想是：客观事物具有局部 与整体以某种形式相似的层次结构，称为自相似性。这种自相似的层次结 构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。例如，从空中观察海岸 线与人站在海边观察海岸线具有相似的曲线形状。分形几何学从诞生到现 在，已成为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，在自然界、物理、 化学、生物和地理等学科领域中得到了广泛的应用

案例4【洗涤效果]洗衣机的洗衣过程为以下几次循环：加水一一漂洗一一脱水，假设洗衣机每次加水量为t一→+oo，衣物的污物质量为t→+oo（单位：千克），衣物脱水后含水量为t→+o0（单位：千克）：问：经过t→+o0次循环后，衣物的污物浓度为多少（污物浓度为污物的质量（于克）与水量（升）之比）？能否100%地清除污物？解各次运行时，污物的浓度为AP,mPzmPn-jmPl=e, Pa=Cm,P3 =Pn:C+m,:C+m,Am"-1n次循环后，衣物的污物浓度为PnC(C + m)"-lAm"-11Alim因为c、，所以limP,=lim=0Cy"-1C(C +m)"-IC-→(I+)2→00(>1mm当洗涤次数n很大时，衣物的污物浓度会很小，随着洗涤次数的无限增大，留在衣物上的污物浓度接近0，但永远不为0.因此要100%地清除污物是不可能的案例5【游戏销售】当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内销售量会迅速增200t案例然后开始下降，其函数关系为 s(0-2010，1→+01→+00为月份（1）请计算游戏推出后第6个月、第12个月和第三年的销售量.(2）如果要对该产品的长期销售做出预测，请建立相应的表达式，5_1200200x6解(1)s(6)=-~8.8235362+100136200×122_2400~9.8361(2) s(12) =中12°+100244200×36_ 7200~ 5.6176 (3) s(36)=362 +1001396(2）从上面的数据可以看出，随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间200tt→+00时的销售量，即lim==0°-+ t2 +100上式说明当时间1一→+o0时，销售量的极限为0，即人们购买此游戏会越来越少，从而转向购买新的游戏，9

9 案例 4 [洗涤效果]洗衣机的洗衣过程为以下几次循环：加水――漂洗――脱 水．假设洗衣机每次加水量为t   ，衣物的污物质量为t   (单位：千 克)，衣物脱水后含水量为t   (单位：千克)．问：经过t   次循环后， 衣物的污物浓度为多少（污物浓度为污物的质量（千克）与水量（升）之比）？ 能否 100％地清除污物？ 解 各次运行时，污物的浓度为 C A  1  ， C m m   1 2   ， C m m   2 3   ，.， C m n m n    1  ，. n次循环后，衣物的污物浓度为 1 1 ( )     n n n C C m Am  因为  1 m C ，所以 0 (1 ) 1 lim ( ) lim lim 1 1 1            n n n n n n n m C C A C C m Am  当洗涤次数n很大时，衣物的污物浓度会很小，随着洗涤次数的无限增大，留在 衣物上的污物浓度接近 0，但永远不为 0．因此要 100％地清除污物是不可能的． 案例 5 [游戏销售]当推出一种新的电子游戏程序时，在短期内销售量会迅速增 加，然后开始下降，其函数关系为 2200 ( ) , 100 t s t t t     ，t   为月份． (1) 请计算游戏推出后第 6 个月、第 12 个月和第三年的销售量． (2) 如果要对该产品的长期销售做出预测，请建立相应的表达式． 解 (1) 2200 6 1200 (6) 8.8235 6 100 136 s      ， （2） 2 200 12 2400 (12) 9.8361 12 100 244 s      ， （3） 2 200 36 7200 (36) 5.6176 36 100 1396 s      ． (2) 从上面的数据可以看出，随着时间的推移，该产品的长期销售应为时间 t  时的销售量．即 2200 lim 0 t 100 t  t    。 上式说明当时间t  时，销售量的极限为 0，即人们购买此游戏会越来越少， 从而转向购买新的游戏．

第二章导数与微分第1节导数案例1【电流】电路中某点处的电流i是通过该点处的电量q关于时间t的瞬时变化率，如果一电路中的电量为q(t)=t+t.(1）求其电流函数i(t）；(2)t=3时的电流是多少？(3）什么时候电流为49.解: (1) ()==(C+)=(l)+()=3r+1at(2) i(3)=(3t2 +1)lt=3= 3×32 +1 = 28 ;(3)解方程(t)=49，即3t2+1=49，得t=±4（舍去负值），即当t=4时，电流为49.案例2[制冷效果］某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，1小时后冰2t箱的温度为T=-20：问冰箱温度T关于时间1的变化率是多少？0.05t+1解：冰箱温度T关于时间1的变化率为2t2tdT _ (20) = 2(0.05t +1) -21 x0.05T20dt(0.05t+10.05t+1(0.05t +1) 2案例3[电流与电压的关系】在电容器两端加正弦电流电压u。=Umsin(ot+，求电流i.i=c du, =C[U. sin(o + )'= C(U .ocos(ot + 0)]解：因为dt=oCU. sin(o1+$+)=I. sin(ot+0)2其中のCU.=I.是电流的峰值（最大值），称振幅，相位θ=Φ+".由2)=Im sin(01+0),u.=U.sin(ot+),i=oCU.sin(ot+$+1从而可知，电容器上电流与电压有下列关系：（1）电流i与电压u是同频率的正弦波：10

10 第二章 导数与微分 第1节 导数 案例 1 [电流] 电路中某点处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间t 的瞬时变 化率，如果一电路中的电量为 3 q(t)  t  t ． (1) 求其电流函数i(t) ； (2) t  3时的电流是多少？ (3) 什么时候电流为 49． 解: （1） 3 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 dq i t t t t t t dt          (2) 2 2 3 (3) (3 1) | 3 3 1 28 t i t        ； (3) 解方程i(t)  49 ，即 2 3t 1  49 ，得t  4 (舍去负值)，即当t  4时，电流为 49． 案例 2 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t 小时后冰 箱的温度为 2 20 0.05 1 t T t    ．问冰箱温度T 关于时间t 的变化率是多少？ 解: 冰箱温度T 关于时间t的变化率为   2 2 2 2(0.05 1) 2 0.05 20 20 0.05 1 0.05 1 (0.05 1) dT t t t t dt t t t                           案例 3 [电流与电压的关系] 在电容器两端加正弦电流电压 sin( ) c m u U t   ， 求电流i . 解： 因为 [ sin( )] [ cos( )] c m m du i C C U t C U t dt           sin( ) sin( ) 2 CUm m t I t          其中 CUm m   I 是电流的峰值（最大值），称振幅，相位 2      ．由 sin( ) c m u U t   ， sin( ) sin( ) 2 m m i CU t I t          ， 从而可知，电容器上电流与电压有下列关系： （1）电流i 与电压u 是同频率的正弦波；

（2）电流i比电压u.相位提前"2U.-U.1（3）电压峰值与电流峰值之比为I.CoU.Co1为容抗（容性电抗）：电工中称Co案例4【发动机的效率］一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率p（%）与汽车的速度v（单位：km/h)之间的关系为P=0.768v-0.00004v3，问发动机的最大效率是多少？解求发动机的最大效率P最大，即求函数p=0.768v-0.00004v的最大值，=(0.768 -0.0004v) = 0.768v-0.0012*,先求极值点。dy令=0，得v=80（单位：km/h）.dy由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为p(80)~41(%)案例5[最大输出功率]设在电路中，电源电动势为E，内阻为r，（E，r均为常量），问负载电阻R多大时，输出功率P最大？解消耗在电阻R上的功率P=I’R，其中I是回路中的电流，由欧姆定律知EE'R1 =所以P=(0<R<+00)R+r'(R+r)?E2应使dp=0，即dP_要使P最大，dR"(R+r)(r-R)=0dR此时，P=E得R=r，4R由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在（O，+o)内部取得，所以必在PE?的唯一驻点R=r处取得．因此，当R=r时，输出功率最大为P=4R11

11 （2）电流i 比电压 c u 相位提前 2  ； （3）电压峰值与电流峰值之比为 m m 1 m m U U I CU C   ， 电工中称 1 C 为容抗（容性电抗）． 案例 4 [发动机的效率] 一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发 动机的效率 p （%）与汽车的速度v (单位：km/h)之间的关系为 3 p  0.768v  0.00004v ．问发动机的最大效率是多少？ 解 求发动机的最大效率 p最大 ，即求函数 3 p  0.768v  0.00004v 的最大值． 先求极值点．   3 2 0.768 0.00004 0.768 0.00012 dp v v v v dv      ， 令 0 dp dv  ，得v  80 (单位：km/h) ． 由实际问题知，此时发动机的效率最大，最大效率为 p(80)  41(%) 案例 5 [最大输出功率]设在电路中，电源电动势为 E，内阻为 r,（E，r 均为常 量），问负载电阻 R 多大时，输出功率 P 最大？ 解 消耗在电阻 R 上的功率 2 P  I R ，其中 I 是回路中的电流，由欧姆定律知 E I R r   ， 所以 2 2 (0 ) ( ) E R P R R r      . 要使 P 最大，应使 0 dP dR  ，即 2 3 ( ) 0 ( ) dP E r R dR R r     得 R  r ， 此时， 2 4 E P R  由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在(0,  ) 内部取得，所以必在 P 的唯一驻点 R  r 处取得．因此，当 R  r 时，输出功率最大为 2 4 E P R  ．

第2节函数的微分案例1［金属立体受热后体积的改变量］某一正立方形金属体的边长为2m，当金属受热边长增加0.01m时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？解：体积的微分为dV =(x3)'dx = 3xdx = 3x°x ,将x=2，△x=0.01代入上式，得在x=2，△x=0.01处的微分dv=3×22x0.01=0.12(m2)，X=2Ar=0.01x=2，Ar=0.01处体积的改变量为AV=(2+0.01)3-23~0.1206(m)4≤20.01由此可见，dVAV1-.01x=2Ar=0.01案例2［电压改变量]设有一电阻负载R=25Q，现负载功率P从400W变到401W，求负载两端电压U的改变量，U?解：由电学知，负载功率P=，即U=VRP，故Rd/RPdP=VRdP_1RVRdu=EdP--dp=2VPdpdp2/P因为R=25，P=400，dP=1，所以电压U的改变量为V25AUdU=x1=0.125(V)2V400案例3［收入增加量］某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入函x2其中x为公司一天的产量，如果公司每天的产量从250增加到数为R=36x-20260，请估计公司每天收入的增加量.解：公司每天产量的增加量为△x=10，用dR估计每天的收入增加量为236x-△R=dR=Ax4r=10=360-x2012

12 第2节 函数的微分 案例 1 [金属立体受热后体积的改变量] 某一正立方形金属体的边长为 2m，当金 属受热边长增加 0.01m 时，体积的微分是多少？体积的改变量又是多少？ 解: 体积的微分为 3 2 2 dV  (x )dx  3x dx  3x x ， 将 x  2 ， x  0.01代入上式，得在 x  2 ， x  0.01处的微分 2 2 0.01 3 2 0.01 0.12 x x dV       (m3)， x  2 ， x  0.01处体积的改变量为 3 3 2 0.01 (2 0.01) 2 0.1206 x x V        (m3)， 由此可见， 2 0.01 x x dV   2 0.01 x x V     . 案例 2 [电压改变量]设有一电阻负载 R  25 ，现负载功率 P 从 400W 变到 401W， 求负载两端电压U 的改变量. 解: 由电学知，负载功率 2 U P R  ,即 U  RP ，故 1 1 2 2 d RP d P R dU dP R R dP dP dP dP P P     ， 因为 R  25 ， P  400 ， dP 1，所以电压U 的改变量为 25 1 0.125 2 400 U  dU    （V）. 案例 3 [收入增加量] 某公司生产一种新型游戏程序，假设能全部出售，收入函 数为 2 36 20 x R  x  , 其中 x 为公司一天的产量，如果公司每天的产量从 250 增加到 260，请估计公司每天收入的增加量． 解: 公司每天产量的增加量为x  10，用dR估计每天的收入增加量为 2 10 36 360 20 x x R dR x x x                