晋中学院：《高等数学》课程教学案例汇编

案例4[放大电路】某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍数为A，闭环A电路的放大倍数为A，则它们二者有函数关系A，当A=104时，由1+0.01A于受环境温度变化的影响，A变化了10%，求A,的变化量是多少？A,的相对变化量又为多少？解：由于A=10*时，A,~100，用dA,近似计算A,，得MA, ~ dA, =(A,)A,其中（A,)=(1+0.01A)21+0.01A)A=1041A=1040.1x104A,的变化量AAAA0.098,A=0.1A(1+0.01×10*)2AA=0.1A(1+0.01A)24,的相对变化量约为兰≥0.098/100=0.98×10-A,案例5「钟表误差］一机械挂钟的钟摆的周期为1s，在冬季，摆长因热涨冷缩而n其中g=980cm/s2，问这只钟每缩短了0.01cm，已知单摆的周期为T=2元Vg秒大约快还是慢多少？1g，解之得摆的原长为1=一解：因为钟摆的周期为1秒，所以有1=2元，(2元)2Vg又摆长的改变量为△/=-0.01厘米，用dT近似计算△T，得TN=1NAT~dT=dlVgig将/=△/=-0.01代入上式得(2元)21元2元N× (-0.01)=△T~dT=元-×（-0.01)~-0.0002（秒）Vglggg8 (2元)2由于摆长缩短了0.01厘米，钟摆的周期相应地缩短了约0.0002秒，案例6【钟摆快慢]在很多城市都有一种老式的机械钟，由于钟摆是由金属制造的，容易由于温度的改变而热胀冷缩，使得钟摆的摆长产生细微的变化。例如钟13

13 案例 4[放大电路] 某一负反馈放大电路，记其开环电路的放大倍数为 A，闭环 电路的放大倍数为 Af ，则它们二者有函数关系 1 0.01 f A A A   ．当 4 A 10 时，由 于受环境温度变化的影响， A变化了10% ，求 Af 的变化量是多少？ Af 的相对变 化量又为多少？ 解: 由于 4 A 10 时， 100 Af  ，用 f dA 近似计算Af ，得 ( ) Af f f   dA  A A ， 其中 2 1 ( ) 1 0.01 (1 0.01 ) f A A A A             ． Af 的变化量 4 4 4 2 4 2 10 1 10 0.1 10 0.098 0.1 (1 0.01 ) 0.1 (1 0.01 10 ) f A A A A A A A A A                ， Af 的相对变化量约为 4 0.098 /100 0.98 10 f f A A      案例 5 [钟表误差] 一机械挂钟的钟摆的周期为 1s，在冬季，摆长因热涨冷缩而 缩短了 0.01cm，已知单摆的周期为 2 l T g   ，其中 g  980 cm/s 2 ，问这只钟每 秒大约快还是慢多少？ 解: 因为钟摆的周期为 1 秒，所以有1 2 l g   ，解之得摆的原长为 2 (2 ) g l   ， 又摆长的改变量为l  0.01厘米，用dT 近似计算T ，得 dT 1 T dT l l dl gl       将 2 (2 ) g l   ， l  0.01代入上式得 2 2 1 2 ( 0.01) ( 0.01) 0.0002 (2 ) T dT l gl g g g                  (秒) 由于摆长缩短了 0.01 厘米，钟摆的周期相应地缩短了约 0.0002 秒． 案例 6 [钟摆快慢]在很多城市都有一种老式的机械钟，由于钟摆是由金属制造 的，容易由于温度的改变而热胀冷缩，使得钟摆的摆长产生细微的变化。例如钟

，其中g=980cm/s2，1为摆长，正常温度下，设摆摆的振动周期为T=2元，Vg长为l，钟摆的周期大约为1。在夏季由于阳光的照射，钟摆的摆长大约增加0.005cm，那么这钟每天的时间是变快还是变慢了呢？解：根据物理学知识，钟摆的周期变长，则钟会变慢；周期变短，则钟会变快。F,l=是，当T=1秒时，l=是又：T=2元=0.0054元Vg1-4元2根据微分知识有，周期的改变△T~dT=2元A=2。因为>0，所以>0,元..AT~-Vg2/4元2g即周期变长了，故这钟的时间会变慢。并且周期变长了约为2元2x0.005=0.0001秒。980那么，该钟每天变慢的时间约为0.0001×60X60×24=0.864秒。第3节瞬时变化率案例1[低频跨导］具有PN节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压微变之比称为低频跨导.一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为I=5U?，求电压U=-2V时的低频跨导.解：低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在U=-2伏时的变5(-2 + △V) - 5(-2)2= lim 5化率为=10(V).I=limAVAV-0VAV-0案例2[人口增长率】《全球2000年报告》指出世界人口在1975年为41亿，并以每年2%的相对比率增长．若用P表示自1975年以来的人口数，求，dt'di lr0dP[s，它们的实际意义分别是什么？P(t+)-P(t)dp美表示世界人口总量关于时间的变化率，即=lim解：Atdtdt-0在[1,△]时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为2%，dP = 2%P(t)速度为2%P(t)，即P(t+△t)-P(t)2%P(t)△t，故有dt14

14 摆的振动周期为 2 l T g   , 其中 2 g  980cm / s ,l 为摆长，正常温度下，设摆 长为 0 l ,钟摆的周期大约为 1 s 。在夏季由于阳光的照射，钟摆的摆长大约增加 0.005 cm ,那么这钟每天的时间是变快还是变慢了呢? 解：根据物理学知识，钟摆的周期变长，则钟会变慢；周期变短，则钟会变快。 又∵ 2 2 , 4 l g T l T g     ,当T 1秒时， 0 2 , 0.005 4 g l l     , 根据微分知识有，周期的改变 2 l T dT l g            ， 2 2 2 2 / 4 T l l g g         。因为l  0 , 所以T  0, 即周期变长了，故这钟的时间会变慢。并且周期变长了约为 2 2 0.005 0.0001 980    秒。 那么，该钟每天变慢的时间约为 0.0001×60×60×24=0.864 秒。 第3节 瞬时变化率 案例 1[低频跨导] 具有 PN 节的半导体器件，其电流微变和引起这个变化的电压 微变之比称为低频跨导．一种PN节的半导体器件，其转移特性曲线方程为 2 I  5U ， 求电压U  2 V 时的低频跨导． 解: 低频跨导是电流微变和引起这个变化的电压微变之比，它在U  2伏时的变 化率为 2 2 0 0 5( 2 ) 5( 2) lim lim 10 V V I V I   V   V            （V）． 案例 2 [人口增长率]《全球 2000 年报告》指出世界人口在 1975 年为 41 亿，并以每 年 2％的相对比率增长．若用 P 表示自 1975 年以来的人口数，求 dP dt , t 0 dP dt  , t 15 dP dt  ，它们的实际意义分别是什么？ 解: dP dt 表示世界人口总量关于时间的变化率，即 0 ( ) ( ) limt dP P t t P t dt  t      , 在[t, t]时间内，世界人口的增长可视为是匀速增长的，由于相对比率为 2％， 速度为2%P(t) ，即 P(t  t)  P(t)  2%P(t)t ，故有 2% ( ) dP P t dt 

由于世界人口每年都以2%的相对比率增长，所以dP _ dPj= dPdi ls = 2% P(t)dtdtl=案例3【铜矿开采费］从一个铜矿中开采T吨铜矿的花费为C=f(T)元f(2000)=100意味着什么？解：对于F(2000)=dT/=2000=100 .因C的单位为元，T的单位为t，所以崇的单位为元几，}(2000)=100表明当有dT2000t铜矿从矿中被开采出来时，再开采1t铜矿需花费100元案例4［速度]已知某物体做直线运动，运动方程为s=(t2+1)(t+1)，s（单位：m)，1（单位：S）：求在t=3s时物体的速度？解：物体运动的速度为v=雲== [(t? + 1)(t + 1)'= (t? + 1)(t + 1)+ (t2 + 1)(t+ 1)dt= 2t(t+1)+(t2 +1)×1= 3t2 +2t+1,t=3s时的速度为vl=3=(3t2+2t+1) =3=34 (m/s)案例5［电压的变化率］一个电阻为3Q，可变电阻为R的电路中的电压由下式给出：V_6R+25求在R=7Q时电压关于可变电阻R的变化率.R+3解：电压V关于可变电阻R的变化率为6(R+3)-(6R+25)-76R+25V'(R+3)2R+3J(R +3)27在R=7Q时电压关于可变电阻R的变化率为V'R==-0.07(7 + 3)2案例6[并联电阻］当电流通过两个并联电阻r，r,时，总电阻由下式给出：1=二+二，求R对的变化率假定r是常量，Rrr由-}+知R=第，因为是常数，所以解：日Rrrr+rdR-()=(+)-=drdr r +r(i +r)?(rj +r)215

15 由于世界人口每年都以 2％的相对比率增长，所以 dP dt  t 0 dP dt   15 2% ( ) t dP P t dt   案例 3 [铜矿开采费]从一个铜矿中开采T 吨铜矿的花费为C  f (T ) 元， f (2000) 100 意味着什么？ 解: 对于 2000 (2000) 100 T dC f dT     ． 因 C 的单位为元，T 的单位为 t，所以 dC dT 的单位为元/t， f (2000) 100 表明当有 2000t 铜矿从矿中被开采出来时，再开采 1t 铜矿需花费 100 元． 案例 4 [速度]已知某物体做直线运动，运动方程为 2 s  (t 1)(t 1) ， s (单位： m)，t (单位：s) ．求在t  3 s 时物体的速度？ 解: 物体运动的速度为 2 2 2 [( 1)( 1)] ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ds v t t t t t t dt              2 2  2t(t 1)  (t 1)1 3t  2t 1 ， t  3 s 时的速度为 2 3 3 | (3 2 1) | 34 t t v t t       (m/s). 案例 5 [电压的变化率] 一个电阻为3 ，可变电阻为 R 的电路中的电压由下式给 出： 6 25 3 R V R    ．求在 R  7 时电压关于可变电阻 R 的变化率． 解: 电压V 关于可变电阻 R 的变化率为 2 2 6 25 6( 3) (6 25) 7 3 ( 3) ( 3) R R R V R R R                    ， 在 R  7 时电压关于可变电阻 R 的变化率为 7 2 7 | 0.07 (7 3) V R       . 案例 6[并联电阻] 当电流通过两个并联电阻 1r ， 2r 时，总电阻由下式给出： 1 2 1 1 1 R r r   ，求 R 对 1r 的变化率．假定 2r 是常量． 解: 由 1 2 1 1 1 R r r   知 1 2 1 2 rr R r r   ，因为 2r 是常数，所以 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dR d rr r r r rr r dr dr r r r r r r        

案例7【制冷效果］某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t小时后冰2t箱的温度为T=20（单位：℃).问冰箱温度T关于时间t的变化率是多0.05t+1少？解：冰箱温度T关于时间1的变化率为2dT_2t) -(20)= 2(0.051 +1) -21 x0.052t20dt(0.05t+1(0.05t+1）(0.05t +1)2(0.05t +1) 2案例8［放射物的衰减]现有1g放射性元素碳14,已知其第t年的剩余量为M(t)=e0.0011,求碳14的衰减速度并得出其衰变规律。度()- M(=(e00)=-0.01()解：碳-14的衰减速度dt即碳-14的衰减速度为-0.000121e-0.00121克/年，负号表示递减。碳-14的衰变速度与当时未衰变的碳-14含量M(t)成正比。案例9［钢棒长度的变化率］假设某钢棒的长度L（单位：cm）取决于气温H（单位：0C），而气温H又取决于时间（单位：h），如果气温每升高10C，钢棒长度增加2cm，而每隔1小时，气温上升30C，问钢棒长度关于时间的增加有多快？解：已知长度对气温的变化率业=2cm/°C.dH气温对时间的变化率为业=3℃/h.dt要求长度对时间的变化率，即求兴dt将L看作H的函数，H看作t的函数，由复合函数求导的链式法则得dLdLdH2×3=6 (cm/h)dtdH dt因而，长度关于时间的增长率为6cm/h案例10【充电速度】对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为".=E(I-e),求电容器的充电速度些（如下图）dt解：利用复合函数的求导法则，有16

16 案例 7 [制冷效果] 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果， t 小时后冰 箱的温度为 2 20 0.05 1 t T t    (单位： 0C )．问冰箱温度T 关于时间t 的变化率是多 少？ 解: 冰箱温度T 关于时间t 的变化率为   2 2 2 2 2(0.05 1) 2 0.05 2 20 20 0.05 1 0.05 1 (0.05 1) (0.05 1) dT t t t t dt t t t t                             . 案例 8 [放射物的衰减] 现有 1g 放射性元素碳 14,已知其第t 年的剩余量为 0.000121 ( ) t M t e   ,求碳 14 的衰减速度并得出其衰变规律。 解: 碳-14 的衰减速度 0.000121 ( ) ( )= ( ) 0.000121 ( ) dM t t v t e M t dt      即碳-14 的衰减速度为 0.000121 0.000121 t e   克/年，负号表示递减。 碳-14 的衰变速度与当时未衰变的碳-14 含量M (t)成正比。 案例 9 [钢棒长度的变化率] 假设某钢棒的长度 L（单位：cm）取决于气温 H（单 位：0C），而气温 H 又取决于时间t（单位：h），如果气温每升高 10C，钢棒长度 增加 2cm，而每隔 1 小时，气温上升 30C，问钢棒长度关于时间的增加有多快？ 解: 已知长度对气温的变化率 2 dL dH  cm 0 / C ． 气温对时间的变化率为 3 dH dt  0C / h ． 要求长度对时间的变化率，即求 dL dt ． 将 L 看作 H 的函数， H 看作t 的函数，由复合函数求导的链式法则得 2 3 6 dL dL dH dt dH dt      (cm/h)． 因而，长度关于时间的增长率为 6cm/h． 案例 10 [充电速度] 对电容器充电的过程中，电容器充电的电压为 (1 ) t RC c u E e    ,求电容器的充电速度 c du dt （如下图）. 解: 利用复合函数的求导法则，有

du'=E0-eE(1-ECdtRCE-E0-El0-eRCRCRC第4节函数的单调性案例1［增长率］若某国的国民生产总值的增长率>0>0，由函数单调性的判定dt方法知P(t）是一单调增加函数，即该国的国民生产总值越来越大；反之，若某国的国民生产总值的增长率崇<0，则该国的国民生产总值越来越小。dt案例2[石油蕴藏］假设P为在第t年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的），dp假设没有新的石油产生，并且P以桶为单位计量，的单位是什么？它有何意dt义？它的符号为正还是负？为什么？解：由于没有新的石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量P(t)是一单调减少函数，所以<0．因为P的单位是桶，1的单位是年，所以些的单位是桶/年dta案例3［人口增长］中国的人口总数P（以10亿为单位）在1993年一1995年间可近似地用方程P=1.15×（1.014）来计算，其中1是以1993年为起点的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？解：中国人口总数在1993一1995年间的增长率（t>0）为-[1.15x(1.014)]=1.15×[1.014)] =1.15×(1.014) ×n1.014> 0,dt因此中国人口总数在1993一1995年期间是增长的.案例4【血液的压强］血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉17

17 (1 ) (1 ) 0 ( ) t t t c RC RC RC du t E e E e E e dt RC                        1 0 ( ) 0 ( ) t t t RC RC RC t E E e E e e RC RC RC                       第4节 函数的单调性 案例 1 [增长率] 若某国的国民生产总值的增长率 0 dP dt  ，由函数单调性的判定 方法知 P(t) 是一单调增加函数，即该国的国民生产总值越来越大；反之，若某国 的国民生产总值的增长率 0 dP dt  ，则该国的国民生产总值越来越小． 案例 2 [石油蕴藏] 假设 P 为在第t 年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发现的）， 假设没有新的石油产生，并且 P 以桶为单位计量， dP dt 的单位是什么？它有何意 义？它的符号为正还是负？为什么？ 解: 由于没有新的石油产生，而地球的石油是不可再生资源，随着对石油的消耗， 其总量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量 P(t) 是一单调减少函数， 所以 0 dP dt  ．因为 P 的单位是桶，t 的单位是年，所以 dP dt 的单位是桶/年． 案例 3 [人口增长] 中国的人口总数 P （以 10 亿为单位）在 1993 年—1995 年间 可近似地用方程 1.15 (1.014) t P   来计算，其中t 是以 1993 年为起点的 年数，根 据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？ 解: 中国人口总数在 1993—1995 年间的增长率(t  0 )为 1.15 (1.014) 1.15 (1.014) 1.15 (1.014) ln1.014 0 dP t t t dt                   ， 因此中国人口总数在 1993—1995 年期间是增长的． 案例 4 [血液的压强] 血液从心脏流出，经主动脉后流到毛细血管，再通过静脉