案例9［个人所得税］我们知道，当个人的月收入超过一定金额时，应向国家交纳个人所得税，收入越高，国家征收的个人所得税的比例也越高，即“高收入，高税收”：我国于1993年10月31日发布的《中华人民共和国个人所得税法》规定月收入超过800元的部分为应纳税所得额（下表仅保留了原表中前2级的税率）：级数全月应纳税所得额税率(%)51不超过500元部分102超过500元至2000元部分个人所得税一般在工资中直接扣发，若某单位所有人的月收入都不超过2800元，请建立月收入与纳税金额之间的函数关系.解：设某人月收入为×元，应交纳所得税为y元。y=0;当0≤x≤800时，当800<x≤1300时，y=（x-800)×5%；当1300<x≤2800时，y= (1300800)×5% +(x-1300)×10% = 25+(x1300)×10%,故函数关系为0,0≤x≤8000.05x(x-800),800<x≤1300V0.1x(x-1300)+25,1300<x≤2800函数图形如下图所示。otT00O200o0若某人月工资为1850元，则应使用公式y=0.1(x-1300)+25求值，所交税为以x=I850=0.1×550+25=803
3 案例 9 [个人所得税] 我们知道，当个人的月收入超过一定金额时，应向国家交 纳个人所得税，收入越高，国家征收的个人所得税的比例也越高．即“高收入， 高税收”．我国于 1993 年 10 月 31 日发布的《中华人民共和国个人所得税法》 规定月收入超过 800 元的部分为应纳税所得额（下表仅保留了原表中前 2 级 的 税率）． 级 数 全 月 应 纳 税 所 得 额 税 率 (％) 1 不超过 500 元部分 5 2 超过 500 元至 2000 元部分 10 个人所得税一般在工资中直接扣发．若某单位所有人的月收入都不超过 2800 元， 请建立月收入与纳税金额之间的函数关系． 解：设某人月收入为 x元，应交纳所得税为 y 元． 当0 x 800时， y 0； 当800 x 1300时， y (x 800)5%； 当1300 x 2800时， y (1300 800)5% (x 1300)10% 25 (x 1300) 10% ， 故函数关系为 0, 0 800 0.05 ( 800), 800 1300 0.1 ( 1300) 25, 1300 2800 x y x x x x ． 函数图形如下图所示． 若某人月工资为 1850 元，则应使用公式 y 0.1(x 1300) 25 求值，所交税为 0.1 550 25 80 y x1850
案例10【旅馆定价】一旅馆有200间房间，如果定价不超过40元/间，则可全部出租.若每间定价高出1元，则会少出租4间.设房间出租后的服务成本费为8元，试建立旅馆一天的利润与房价间的函数关系：解：设旅馆的房价为x元/间，旅馆一天的利润为y元。若x≤40，则旅馆出租200间，利润为y=200(x-8).若x>40，则旅馆少出租4(x-40)间，出租了200-4(x-40)间．利润为y=[200-4(x-40)](x-8)综上分析，旅馆利润与房价之间的函数为x≤40200(x-8),y= [200 - 4(x - 40)](x- 8), x> 40.,如果旅馆房价为45元/间，则应用公式y=[200-4(x-40)](x-8)求值，旅馆一天的利润为y=(200-4×5)×(45-8)=6660（元）案例11［出租车费用]当人们乘坐出租车的时候总是在思考一个问题，当距离较远时，选择乘坐一辆或者多辆出租车时费用上有何差别？如何换乘，所花费用最少？某地2014年出租车的计费标准如下：（1）路程3km以内（含3km）按起步价9元计费；（2）超过3km，但不超过10km的这段路程，按1.9元/km计费；（3）超过10km后的路程需加收50%的返空费，即按2.85元/km计费；（4）等待累计时间（如遇红灯、中途停车等）不满5分钟不收费，若满5分钟，按每5分钟1km计费。按上述标准计算出的费用取整数为现实中最终支付费用。现假设乘客换车很方便且不考虑等待时间，请制订一个费用最省的乘车方案？解：设当行驶x公里时，乘客乘车费用为f(x）元，则有分段函数（1）当乘车路程在3km之内时，在起步价之内，只乘一辆车最省，总费用是9元。(2)当乘车路程在3～10km之内时，平均每km路费随着路程的增加而逐渐降低，从3km时的平均3元/km到10km时的平均2.23元/km，故只乘一辆车最省。(3）当乘车路程超过10km时，若不换乘则按2.85元/km计费，若换乘，则需支付起步价9元。4
4 案例 10 [旅馆定价] 一旅馆有 200 间房间，如果定价不超过 40 元/间，则可全 部出租．若每间定价高出 1 元，则会少出租 4 间．设房间出租后的服务成本费为 8 元，试建立旅馆一天的利润与房价间的函数关系． 解： 设旅馆的房价为 x 元/间，旅馆一天的利润为 y 元． 若 x 40 ，则旅馆出租 200 间，利润为 y 200(x 8) ． 若 x 40，则旅馆少出租4(x 40) 间，出租了200 4(x 40) 间．利润为 y [200 4(x 40)](x 8) ． 综上分析，旅馆利润与房价之间的函数为 200( 8), 40 [200 4( 40)]( 8), 40 x x y x x x ． 如果旅馆房价为 45 元/间，则应用公式 y [200 4(x 40)](x 8) 求值， 旅馆一天的利润为 y (200 4 5) (45 8) =6660（元）. 案例 11 [出租车费用]当人们乘坐出租车的时候总是在思考一个问题，当距离较 远时，选择乘坐一辆或者多辆出租车时费用上有何差别?如何换乘，所花费用最 少?某地 2014 年出租车的计费标准如下： （1） 路 程 3km 以内( 含 3km)按起步价 9 元计费； （2）超过 3km,但不超过 10km 的这段路程，按 1.9 元/km 计费； （3）超过 10km 后的路程需加收 50%的返空费，即按 2.85 元/km 计费； (4）等待累计时间(如遇红灯、中途停车等)不满 5 分钟不收费，若满 5 分钟，按 每 5 分钟 1km 计费。 按上述标准计算出的费用取整数为现实中最终支付费用。现假设乘客换车很方 便且不考虑等待时间，请制订一个费用最省的乘车方案? 解：设当行驶 x公里时，乘客乘车费用为 f (x)元，则有分段函数 (1)当乘车路程在 3km 之内时，在起步价之内，只乘一辆车最省，总费用是 9 元。 (2)当乘车路程在 3～10km 之内时，平均每 km 路费随着 路程的增加而逐渐降低， 从 3km 时的平均 3 元/km 到 1 0km 时 的平均 2.23 元/km, 故只乘一辆车最省。 (3)当乘车路程超过 10km 时，若不换乘则按 2.85 元/km 计费，若换乘，则需支 付起步价 9 元
设当行驶至y（10<y≤20)km时，不换乘与换乘两种方案的费用相等，则有2.85×(y-10)=9+1.9×(y-13)(10<y≤20)解之得y~13.5，即每辆车的乘坐时间如果超过了13.5km，则选择换乘另一辆车费用最省。故当乘车路程超过10km且小于13.5km时，只乘一辆车费用最省。当乘车路程超过13.5km且不超过23.5km时，在行驶至10km时换乘另一辆车费用最省。(4）当乘车路程超过23.5km且不超过33.5km时，在行驶至10km、20km时分别换乘另一辆车费用最省。如果距离继续增加，换乘方案依此类推。例如，如果乘客从甲地到乙地共23km，两种方案分别花费多少？方案一：不换乘总花费：9+1.9×7+2.85×（23-10)=59.35~59（元）方案二：10km处换乘总花费：2×（9+1.9×7)+3×2.85=53.15~53（元）方案二比方案一总花费节省了6元。第2节极限案例1［存款利息】设某人有本金A元，假设银行的存款方式只有两种：一年定期和活期，现行利率表如下表所示，利率(年利率)存款方式活期0.0072一年定期0.0198如果国家公布的个人所得税为20%，问：(1）t年末，此人的本利和最多为多少？1→+0天后的本利和最多为多少？(2）若某人有2000元钱，准备在银行存4年，请计算他的本利和：若存800天，本利和最多又为多少？解1.问题假设5
5 设当行驶至 y (10< y ≤20)km 时，不换乘与换乘两种方案的费用相等，则有 2.85 ( y 10) 9 1.9 ( y 13) （10 y 20） 解之得 y 13.5, 即每辆车的乘坐时间如果超过了 13.5km,则选择换乘另一辆 车费用最省。 故当乘车路程超过 10km 且小于 13.5km 时，只乘一辆车费用最省。 当乘车路程超过 13.5km 且不超过 23.5km 时，在行驶至 10km 时换乘另一辆 车费用最省。 (4)当乘车路程超过 23.5km 且不超过 33.5km 时，在行驶 至 10km 、20km 时分 别换乘另一辆车费用最省。如果距离继续 增加，换乘方案依此类推。 例如，如果乘客从甲地到乙地共 23km, 两种方案分别花 费多少? 方案一：不换乘 总花费：9+1.9×7+2.85×(23-10)=59.35≈59(元) 方案二：10km 处换乘 总花费： 2×(9+1.9×7)+3×2.85=53.15≈53(元) 方案二比方案一总花费节省了 6 元。 第2节 极限 案例 1 [存款利息]设某人有本金 A 元， 假设银行的存款方式只有两种：一年定 期和活期，现行利率表如下表所示． 存款方式 利率(年利率) 活 期 0.0072 一年定期 0.0198 如果国家公布的个人所得税为 20% ，问： (1) t 年末，此人的本利和最多为多少？t 天后的本利和最多为多少？ (2) 若某人有 2000 元钱，准备在银行存 4 年，请计算他的本利和．若存 800 天， 本利和最多又为多少？ 解 1．问题假设
设活期的年利率为r，一年定期的年利率为r，本利和为y．为简化问题，便于建立模型，特做以下合理化的简化假设：（1）存款期间银行的利率政策和国家公布的个人所得税等不变，中途没有追加存款和提前支取；（2）一年有365天.2.模型的建立由于要交所得税，故实际活期年利率为0.8r，一年定期的年利率为0.8r，：由于<r2，所以获得最高利息的存款方式为尽量存定期.(1）当存款时间t为整年时，本利和y与存款时间n之间的函数关系为y= A(1+0.8r,)".]个一年定期，剩余的(t-365n)天(2）当存款时间t不为整年时，可以存n=[365[一1年末的本利和为y=A(1+0.8r)"，以它为本金，再存存活期.这样，第n=[365(t-365n)天，得到t天后的本利和y：由于活期的年利率为r，折算为每天的利，故t天后的本利和y为率为r=365y= A(1+0.8n)*(1+0.8g ×365xmod()365"(一)是一的模，其值为mod(V1I其中，mod(-)=365x(365）走3653653653653.模型的求解若某人有2000元钱，存4年，本利和为y=2000×(1+0.8×0.0198)*=2130.6(元)若存1=800天，则先存2年定期，再存70天的活期，本利和为0.0072×70)y=2000×(1+0.8×0.0198)(1+0.8x365=2064.2×1.0014=2067.09（元）案例2【投资收益］假定有一个人想把手中的余钱拿去投资，假如投资收益的年利率为100%，那么当他投资1万元，他将收益2万元。如果投资有复利计算，比如每个月都计利一次，那么他到年末将有(1+一)2万元。如12果按每年n次复利计算，则每年末他将有多少万元？当n无限增大时，他的收益会无限多吗？解：如果按每年n次复利计算，则年末将有(1+-)万元，因(1+-)随n增大，nn6
6 设活期的年利率为 1r ，一年定期的年利率为 2r ，本利和为 y ．为简化问题，便于 建立模型，特做以下合理化的简化假设： (1) 存款期间银行的利率政策和国家公布的个人所得税等不变，中途没有追加存 款和提前支取； (2) 一年有 365 天． 2. 模型的建立 由于要交所得税，故实际活期年利率为 1 0.8r ，一年定期的年利率为 2 0.8r ．由于 1 2 r r ，所以获得最高利息的存款方式为尽量存定期． (1)当存款时间t 为整年时，本利和 y 与存款时间n之间的函数关系为 n y A(1 0.8r ) 2 ． (2) 当存款时间t 不为整年时，可以存 ] 365 [ t n 个一年定期，剩余的(t 365n) 天 存活期．这样，第 ] 365 [ t n 年末的本利和为 n y A(1 0.8r ) 2 ，以它为本金，再存 (t 365n) 天，得到t 天后的本利和 y ．由于活期的年利率为 1r ，折算为每天的利 率为 365 1 3 r r ，故t 天后的本利和 y 为 [ ] 365 2 3 (1 0.8 ) (1 0.8 365 mod( )) 365 t t y A r r ， 其中， ) 365 mod( t 是 365 t 的模，其值为 ]) 365 [ 365 ) 365 ( 365 mod( t t t ． 3．模型的求解 若某人有 2000 元钱，存 4 年，本利和为 2000 (1 0.8 0.0198) 2130.6 4 y (元) 若存 t 800 天，则先存 2 年定期，再存 70 天的活期，本利和为 70) 365 0.0072 2000 (1 0.8 0.0198) (1 0.8 2 y = 2064.21.0014 2067.09 (元) 案例 2 [投资收益]假定有一个人想把手中的余钱拿去投资，假如投资收益的 年 利 率 为 100%,那 么 当 他 投 资 1 万 元 ，他 将 收 益 2 万 元 。如 果投资 有复利计算，比如每个月都计利一次，那么他到年末将有 1 12 (1+ ) 12 万元。如 果按每年 n次复利计算，则每年末他将有多少万元?当 n无限增大时，他 的收益会无限多吗? 解：如果按每年 n次复利计算，则年末将有 1 (1+ ) n n 万元，因 1 (1+ ) n n 随 n 增大
单调递增，但有上界：lim(I+)"=e<31所以，当n无限增大时，他的收益也不会超过3万元，因而他的收益也不会无限增多。实际上只能无限接近于2.71828·万元。案例3【科契雪花]1904年，瑞典数学家黑尔格·冯·科赫（HelgevonKoch)构造了现在以他的名字命名的“Koch雪花”。先画一个边长为1的等边三角形，再进行如下修改。第一步：将等边三角形的每条边三等分，并以中间的一段为边向外画等边三角形，再去掉被三等分的边的中间的一段，这样就形成了一个具有3X4条边的多边形。第二步：将新多边形的每条边三等分后重复以上的过程，这样就形成了一个具有3×4条边的多边形。重复以上步骤到第n步时，得到一个3x4"条边的多边形。当n越来越大时，新多边形的的边缘越来越精细，看上去越来越像一朵美丽的雪花，故名“Koch雪花”，又名“Koch曲线”，如下图所示。请问随着Koch雪花边数的增加，其周长和面积如何变化？解：设第n（n=0,1,2,3，）步所得的多边形的周长为l,，面积为s，，则有V3l。 = 3,So =441S = So +3×-:xl-XS39S2 =S, +3×4xXSo91:.S,=S- +3×4mXSS其中, S, =Sn- +3× 4"-×XSo= Sn-1X397
7 单调递增，但有上界： 1 lim(1+ ) 3 n n e n 所以，当 n 无限增大时，他的收益也不会超过 3 万元，因而他的收益也 不会无限增多。实际上只能无限接近于 2.71828万元。 案例 3 [科契雪花]1904 年，瑞典数学家黑尔格·冯·科赫 (Helge von Koch) 构造了现在以他的名字命名的“Koch 雪花”。 先画一个边长为 1 的等边三 角形，再进行如下修改。第一步：将等边三角形的每条边三等分，并以中 间的一段为边向外画等边三角形，再去掉被三等分的边的中间的一段，这 样就形成了一个具有 3×4 条边的多边形。第二步：将新多边形的每条边三 等分后重复以上的过程，这样就形成了一个具有 2 34 条边的多边形。重 复以上步骤到第 n步时，得到一个3 4 n 条边的多边形。当 n 越来越大时， 新多边形的的边缘越来越精细，看上去越来越像一朵美丽的雪花，故名 “Koch 雪花”,又名“Koch 曲线”,如下图所示。请问随着 Koch 雪花边数 的增加，其周长和面积如何变化? 解：设第n（n=0,1,2,3, .）步所得的多边形的周长为 n l ,面积为 n s ，则有 0 l 3, 0 3 4 s 1 0 4 , 3 l l 1 0 0 1 3 9 s s s 2 2 0 4 , 3 l l 2 2 1 0 1 3 4 9 s s s 0 4 , 3 n n l l 1 1 0 1 3 4 9 n n n n s s s 其中， 1 1 0 1 0 1 1 4 3 4 9 9 3 n n n n n n s s s s s