§4.3协方差与相关系数 对于二维随机向量X,),除了其分量X 和Y的期望与方差之外，还有一些数字特征， 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 4.3.1协方差 定义1：若E{IX-EIY-E)}存在， 则称其为X与Y的协方差，记为CovX,),即 Cov(X,Y)=EX-E(XY-E(Y) (1)
§4.3 协方差与相关系数 对于二维随机向量(X,Y)， 除了其分量X 和Y 的期望与方差之外, 还有一些数字特征, 用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要 的就是下面要讨论的协方差和相关系数。 定义1：若 E{[ X-E(X)][Y-E(Y)]} 存在， 则称其为X 与Y 的协方差，记为Cov(X,Y), 即 4.3.1 协方差 Cov(X, Y) = E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}. (1)
协方差性质 (1).Cov(X,Y)=Cov(Y,X); 2).设4，b,c,d是常数，则 Cov(aX+b,cY+d)=ac Cov(X,Y); (3).Cov(X+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y); (4).Cov(X,Y)=E(XY)-[E(X)]E(Y)], 当X和Y相互独立时，Cov(X,)=O: (5).Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
(3). Cov(X1+X2 , Y)= Cov(X1 , Y) + Cov(X2 , Y) ； (1). Cov(X, Y) = Cov(Y, X)； 协方差性质 (2). 设 a, b, c, d 是常数，则 Cov( aX+b, cY+d ) = ac Cov(X, Y) ； (4). Cov(X, Y) =E(XY)-[E(X)][E(Y)] ， (5). Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X, Y) . 当 X 和 Y 相互独立时，Cov(X, Y)=0；
性质（⑤）可推广到n个随机变量的情形： er2X)=立amX)+2comX,X,） 若X,X,Xn两两独立，则 ar空x)=amx) @@风
若 X1 , X2 , . , Xn 两两独立，则 性质(5)可推广到n个随机变量的情形： ( ) ( ) 2 ( , ). 1 1 i j n i n i i j Var Xi Var Xi Cov X X = = = + ( ) ( ). 1 1 = = = n i n i Var Xi Var Xi
协方差的大小在一定程度上反映了X和Y 相互间的关系，但它还受X和Y本身度量单位 的影响。例如： Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y). 为了克服这一缺点，对协方差进行标准 化，这就引入了相关系数。 @@的
协方差的大小在一定程度上反映了X 和Y 相互间的关系，但它还受X 和Y 本身度量单位 的影响。 例如： Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y). 为了克服这一缺点，对协方差进行标准 化，这就引入了相关系数
4.3.2相关系数 定义2：设Var)>0,Var()>0,则称 Cov(X,Y) War(X）Var(Y） 为随机变量X和Y的相关系数 在不致引起混淆时，记Py为P
4.3.2 相关系数 为随机变量X 和Y 的相关系数。 定义2: 设Var(X) > 0, Var(Y) > 0, 则称 ( ) ( ) ( , ) Var X Var Y Cov X Y XY = 在不致引起混淆时，记 XY 为