相关系数性质 ().|p1; 证：由方差与协方差关系，对任意实数b,有 0<Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y), 令b= Cov(X,Y) 则有 Var(X) Var(Y-bX)=var(r)-I Cov(X,Y)]2 Var(X) [Cov(X,Y) Var(X)Var(Y) =Var(Y)[1-p2], 由方差Var(>0,知1-p220,所以|p≤1
相关系数性质 (1). | |1; 证：由方差与协方差关系，对任意实数b, 有 0≤Var(Y-bX)=b 2Var(X)+Var(Y)-2b Cov(X,Y ), , ( ) ( , ) Var X Cov X Y 令 b = 则有 Var(Y-bX) = ( ) [ ( , )] ( ) 2 Var X Cov X Y Var Y − = − ( ) ( ) [ ( , )] ( ) 1 2 Var X Var Y Cov X Y Var Y ( )[1 ], 2 =Var Y − 由方差Var(Y)>0, 知 1-ρ 2≥ 0, 所以 | ρ |≤1
(2).X和Y独立时，p=0,但其逆不真； 由于当X和Y独立时，CovX,)=0. 所以， Cov(X,Y) =0; Var(X)Var(Y) 但p=O并不一定能推出X和Y独立。 请看下例： @四网
由于当 X 和 Y 独立时，Cov(X, Y)= 0 . 请看下例： (2). X 和Y 独立时, ρ=0，但其逆不真； 但ρ=0 并不一定能推出X和Y独立。 0 ( ) ( ) ( , ) = = ； Var X Var Y Cov X Y 所以
例1：设X,)服从单位D={(化，y小：x2+y2≤1} 上的均匀分布，证明：Pxy=0。 证明： -{ (x,y)D. E(X)=J∬x/πdxdy 2+y2≤1 -x(x =0dw=0, @@的
证明: 例 1：设 (X,Y) 服从单位D={ (x, y): x 2+y 2≤1} 上的均匀分布，证明： XY = 0。 = 0, ( , ) . 1/ , ( , ) , ( , ) x y D x y D f x y 0 0, ( ) / 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 = = = = − − − − − − + d y x d x d y E X x dxdy y y x y